Wiederholungsserie - D-MATH

Lineare Algebra
Prof. Richard Pink
D-MATH, HS 2014
Wiederholungsserie
1. Schreibe die lineare Abbildung f : Q3 → Q5 ,


x
+x
+3x
1
2
3
 
2x1 +2x2 +6x3 
x1


.
2x
+3x
+8x
f x2  := 
1
2
3


 −x1 +x2 +x3 
x3
3x1 +x2 +5x3
als Linksmultiplikation mit einer Matrix und finde je eine Basis ihres Kerns und
ihres Bildes.
2. Bestimme den Rang der Matrix


1 1 0
1 0 1
0 1 1
a) über R,
b) über F2 .
3. Gegeben seien Elemente a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm ∈ K. Wechen Rang kann die
n × m Matrix A := (ai bj )1≤i≤n,1≤j≤m haben?
4. Seien U, V zwei 5-dimensionale Untervektorräume von K 9 . Zeige, dass U ∩V 6= 0
ist.
5. Beweise oder widerlege: Für beliebige linear unabhängige Vektoren v1 , . . . vn
eines Vektorraumes V und einen beliebigen Vektor w ∈ V sind die Vektoren
v1 + w, ..., vn + w linear abhängig genau dann, wenn w ∈ {v1 , . . . , vn } ist.
6. Man berechne die
trizen über Q:

1
 1
1

Determinante und, wenn möglich, die Inverse folgender Ma
2 3
4 9 
8 27

2 1 0
 1 2 1 
0 1 2


1 1 1
 3 1 1 
3 2 1



0 −1 2
 1
0 3 
−2 3 0
 

3 7 11
1 2 −3
 5 5 15   0 2
3 
1 −1 2
1 −4 −12
7. Gegeben sei eine reelle n×n-Matrix A = (aij ), 1 ≤ i, j ≤ n, mit
(i) |aii | ≥ 1
(ii) |aij | <
für alle 1 ≤ i ≤ n, und
1
n−1
für alle i 6= j .
Zeige, dass A invertierbar ist.
8. Über einem Körper K sei A eine n × n Matrix mit AX = XA für alle n × nMatrizen X. Zeige, dass ein λ ∈ K existiert mit A = λIn .
9. Die Spur einer n × n-Matrix A = aij i,j ist definiert als
Spur(A) :=
n
X
aii .
i=1
Zeige:
a) Für jede m × n-Matrix A und jede n × m-Matrix B gilt Spur(AB) =
Spur(BA).
b) Für jede invertierbare n × n-Matrix U gilt Spur(U AU −1 ) = Spur(A).
c) Gib ein Gegenbeispiel zu der Aussage
Spur(A · B · C) = Spur(A · C · B)
an.
10. Gegeben seien die beiden geordneten Basen B := (v1 , . . . , v4 ) und B 0 := (w1 , . . . , w4 )
von Q4 mit
 
 
 
 
1
2
3
4
 2 
 3 
 4 
 1 

 
 
 
v1 := 
 3  , v2 :=  4  , v3 :=  1  , v4 :=  2 
4
1
2
3
und


1
 2 

w1 := 
 3 ,
4


2
 3 

w2 := 
 4 ,
3


3
 4 

w3 := 
 3 ,
2


4
 3 

w4 := 
 2 
1
Berechne die Basiswechselmatrix MB0 B (id).
11. Berechne
X
sign(σ) 2a(σ) ,
σ∈Sn
wobei a(σ) die Anzahl der Fixpunkte von σ bezeichnet:
a(σ) = # k ∈ {1, . . . , n} σ(k) = k .
Hinweis : Die Summe ist die Determinante einer gewissen n×n-Matrix.
12. Zeige: Für jede m × n Matrix A und für jede n × m Matrix B gilt:
det(Im + A · B) = det(In + B · A).
Im −A
Hinweis : Zerlege die (m + n) × (m + n)-Blockmatrix M :=
als
B In
Produkt M = M1 · M2 von Blockdreiecksmatrizen M1 , M2 auf zwei verschiedene
Arten und berechne die Determinante.
13. Seien Folgen (ai )i≥0 , (bi )i≥0 , (ci )i≥0 in Q definiert durch die Rekursionsformeln
ai+1 := ai − 3bi + 3ci ,
bi+1 := −2ai + 2ci ,
ci+1 := ai − bi + 3ci
für alle i ≥ 0, und die Anfangsbedingungen
a0 := 1,
b0 := 2
und
c0 := 1 .
Bestimme explizite Lösungsformeln für ai , bi , ci .
14. Sei K ein Körper, welcher
Zeige, dass die Matrizen

0
0
1
ein Element a ∈ K mit a3 = 1 und a 6= 1, enthält.

1 0
0 1
0 0

und

1 0 0
0 a 0
0 0 a2
ähnlich sind.
15. Sei A eine quadratische Matrix. Zeige, dass A und AT dieselben Eigenwerte mit
denselben arithmetischen und geometrischen Vielfachheiten besitzen.
16. Ein stochastischer Vektor ist ein Spaltenvektor mit Einträgen in R≥0 und Summe
aller Einträge 1. Eine stochastische oder Markov-Matrix ist eine quadratische
Matrix, deren Spalten stochastische Vektoren sind. Sei A eine stochastische
n × n-Matrix mit n > 0. Zeige:
(a) Für jeden stochastischen Vektor v ist auch Av ein stochastischer Vektor.
(b) Jeder komplexe Eigenwert λ von A hat Absolutbetrag |λ| ≤ 1.
(c) Die Zahl 1 ist ein Eigenwert von A.
Seien nun alle Einträge von A positiv. Zeige:
(d) Der Eigenwert 1 hat geometrische Multiplizität 1.
(e) Der Eigenwert 1 hat arithmetische Multiplizität 1.
(f) Alle komplexen Eigenwerte λ 6= 1 haben Absolutbetrag |λ| < 1.
(g) Es existiert genau ein stochastischer Vektor v1 mit Av1 = v1 .
(h) Für jeden stochastischen Vektor v gilt Am v → v1 für m → ∞.
Hinweis: Für (e) und (h) nehme vorläufig an, dass A über C diagonalisierbar
ist. Beweise den allgemeinen Fall, nachdem die Jordan-Normalform behandelt
wurde.
17. Gegeben sei eine lineare Abbildung f : V → W . Zeige, dass f injektiv bzw.
surjektiv bzw. bijektiv ist genau dann, wenn die duale lineare Abbildung f ∗ :
W ∗ → V ∗ surjektiv bzw. injektiv bzw. bijektiv ist.
18. Berechne die LR-Zerlegung der Matrix


1
2 −1
 3 −3
5 

M := 
 1
0
4 
2
1
1
19. Für welche natürlichen Zahlen m existiert ein K-Vektorraum V mit m verschiedenen Unterräumen V1 , . . . , Vm , so dass für alle i < j der Unterraum Vi ein
Komplement von Vj ist?
20. Für je zwei reelle m × n-Matrizen A und B sei
A, B := Spur(AT B)
(vergleiche Aufgabe 9).
a) Zeige, dass dies ein Skalarprodukt auf Matm×n (R) definiert.
b) Sei k k die zugehörige euklidische Norm. Zeige, dass für beliebige reelle
Matrizen passender Grösse gilt
kABk ≤ kAk · kBk .
c) Berechne die Operatornorm der Matrix
3 2
2 3
bezüglich der euklidischen Standard-Norm auf R2 und vergleiche sie mit
der Norm in b).
*d) Berechne die Operatornorm auf Mat2×2 (R) bezüglich der euklidischen StandardNorm auf R2 .
Hinweis: Parametrisiere den Kreis {v ∈ R2 | kvk = 1} durch
f : t 7→ (cos(t), sin(t)), t ∈ R
und berechne das Maximum von k k ◦ LA ◦ f für eine beliebige 2 × 2-Matrix
A.