LK 11.2 1996/97

2003/04 , 12.2 , LK Mathematik
Bonn, den 07. Mai 2004
Übungsaufgaben Nr. 7
1. Man untersuche, ob für das Skalarprodukt die angegebenen Regeln gelten. an führe die Untersuchung zunächst am Zahlenbeispiel durch. Sodann gebe man eine allgemeine Begründung. Gegeben sei
2
-4
5
a = --1 ; b = -3 ; c =  4  ; r = 2
 
 
 
3
1
-2
(a) r (a . b ) = (r a) . b ("gemischtes Assoziativgesetz)
(b) Eine Gleichung der Form a . x = r besitzt stets eine Lösung (Existenz der Lösung von Gleichungen)
(c) Eine Gleichung der Form a . x = r besitzt Nie mehr als eine Lösung (Eindeutigkeit der Lösung
von Gleichungen.)
(d) Zu jedem Vektor a gibt es einen Vektor a* , so daß a . a* = 1 (Existenz des Inversen)
2. Ein gerader Kreiskegel habe seine Spitze im Koordinatensystem. Die Richtung der Kegelachse sei
durch a = (2|-3|-5).
3. Gegeben seien die beiden Geraden
 1  -2
g : x = --9 + r  0 
   
 -4   3 
4
h : x = s 3
 
3
Man zeige, daß g und h windschief sind und berechne den Abstand der Geraden mit Hilfe zweier
paralleler Ebenen.
4. Im abgebildeten Würfel sind P, Q und R die Kantenmitten.
(a) Welchen Winkel bilden PQ und PR jeweils mit
DF ?
(b) Wie groß ist der Winkel
PQR ?
(c) Wie lang sind die Seiten im Dreieck PQR ?
5. Gegeben sind die Vektoren a = (-1|4|1) und b = (1|2|-1). Man berechne jeweils den Projektionsvektor
(a) von a und b auf den Einheitvektor i = (1|0|0),
(b) von a auf b und umgekehrt.
4
-1
0




1
2
6. Gegeben sind die Vektoren a =
,b =
und c = 4 .
 
 
 
-1
-2
4
(a) Man zeige, daß diese Vektoren die Kanten eines Quaders bilden. Welches Volumen hat der
Quader ?
(b) Man berechne die Komponentenzerlegung des Vektors der Raumdiagonale dieses Quaders
bzgl. der Einheitsvektoren a0 , b0 und c0.