Vektorrechnung - Geometrie im Raum wird mit Vektoren
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Vektorrechnung - - Geometrie im Raum wird mit Vektoren beschrieben Vektoren sind „Verschiebungspfeile“ Gleich lange, parallele und richtungsgleiche Pfeile stellen den gleichen Vektor dar Punkte im Raum können durch Ortsvektoren und Vektorketten beschrieben werden 𝑥1 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥2 ) -Orstvektor von Punkt x (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ): 𝑂𝑋 𝑥3 Vektoren können realitätsnahe Situationen modellieren Addition mit Vektor: Ihre einzelnen Koordinaten werden addiert Multiplikation mit Faktor: Alle Koordinaten werden mit dem Faktor multipliziert Skalarprodukt - ⃗ ∗ 𝒚 ⃗⃗⃗ = 𝑥1 ⋅ 𝑦1 + 𝑥2 ⋅ 𝑦2 + 𝑥3 ⋅ 𝑦3 𝒙 Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich null, sind sie orthogonal zueinander Betrag eines Vektors - Der Betrag eines Vektors gibt dessen Länge an - |𝑥 | = √𝑥1 ² + 𝑥2 ² + 𝑥3 ² Eine Strecke zwischen zwei Punkten Raum wird durch den Differenzvektor der Ortsvktoren beschrieben Die Länge dieser Strecke ist der Betrag dieses Vektors - Lineare Unabhängigkeit - - Vektoren können ggf durch andere Vektoren dargestellt werden (Linearkombination). Ist das nicht der Fall, heißen sie linear unabhängig Drei linear unabhängige Vektoren spannen einen Spat auf: Prüfung auf lineare Unabhängigkeit: 𝑟 ∗ 𝑎 + 𝑠 ∗ 𝑏⃗ + 𝑡 ∗ 𝑐 = 0 Ergibt das Gleichungssystem eine weitere Lösung als die Triviallösung (𝑟 = 𝑠 = 𝑡 = 0), sind 𝑎 , 𝑏⃗, 𝑐 linear abhängig (Anwendung: geschlossene Vektorkette) Lösung Linearer Gleichungssysteme - - GTR: rref(), sonst Gauss-Verfahren (siehe B.S. 8 f.) oder andere Methoden wie Additionsverfahren 3 Fälle linearer Gleichungssysteme: -I : Unterbestimmt (mehr Unbekannte als Gleichungen) -> unendliche viele Lösungen -II : „Bestimmt“ (so viele Unbekannte wie Gleichungen) -> eindeutig lösbar -III : Überbestimmt (mehr Gleichungen als Unbekannte) -> keine Lösung Hierbei gilt: Kongruente Gleichungen werden zusammengefasst, Nullzeilen/wahre Aussagen fallen weg.
