Q11 * Mathematik * Wichtige Formeln zur analytischen Geometrie

Q11 * Mathematik * Wichtige Formeln zur analytischen Geometrie
Rechnen mit Vektoren
 a1 
 
Der Punkt A(a1 / a 2 / a 3 ) hat den " Ortsvektor " A   a 2  , der vom Ursprung zum Punkt A zeigt.
a 
 3
 b1   a1   b1  a1 
    

Vektor AB  B  A   b 2    a 2    b 2  a 2 
b  a  b  a 
3 
 3  3  3
 a1 
 b1   r  a1  s  b1 
 
  

Linearkombination der Vektoren a und b: r  a  s  b  r   a 2   s   b2    r  a 2  s  b2  mit r,s  R
a 
b  ra  sb 
3 
 3
 3  3
 a1   b1 
   
Das Skalarprodukt zweier Vektoren: a b   a 2   b 2   a1  b1  a 2  b 2  a 3  b3
a  b 
 3  3
Mit dem Skalarprodukt kann man den Winkel α zwischen zwei Vektoren AB und AC errechnen:
cos() 
AB AC
AB  AC
wobei AB die Länge (den Betrag ) des Vektors AC angibt.
Für diese Länge gilt: AB  AB AB
Also
a 
2
und man schreibt daher AB  AB AB  AB 2 .
a12  a 2 2  a 32
Insbesondere erkennt man zueinander senkrechte Vektoren daran, dass das Skalarprodukt 0
a  b  a b 0
 a1 
 a 2   a3 


 
 
Zu einem Vektor a   a 2  findet man leicht sofort senkrechte Vektoren:   a1  ,  0  ,
 0  a 
a 

  1
 3
Für die Projektion p eines Vektors b auf den Vektor a gilt:
b
b a
b a
p
a 
a
2
a
a
a
.
p
a
Zwei Vektoren a und b spannen eine Ebene auf, wenn für jede reelle Zahl r  R gilt:
a  r  b ( und a  0 und b  0 )
Sogenannte Einheitsvektoren sind Vektoren mit der Länge 1.
1
a
hat die Länge 1 und man schreibt dafür (recht schlampig)
a 
a
a
a
a
o
a .
liefert.
 0 


 a3 
a 
 2