γ γ γ γ γ - psiquadrat

Herleitung des Skalarprodukts
Wie berechnet man den Winkel zwischen 2 Vektoren (etwa den Winkel unter dem
sich 2 Geraden schneiden)? Dazu verwendet man das sog. „Skalarprodukt“. Die
folgende kleine Rechnung leitet es her!
Zunächst: Es gilt der sog. „Kosinussatz“ – eine Verallgemeinerung des Satzes von
Pythagoras für nicht-rechtwinklige Dreiecke:
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
Die Bezeichnungen sind im Dreieck rechts
erläutert. Hier sind die Seiten jedoch
Vektoren! Die Seitenlänge c bezeichnet
r
also den Betrag des Vektors: c =| c | etc…
r
Klar: Der Vektor c kann durch die Vektoren
r
r
r r r
a und b ausgedrückt werden: c = a − b .
Außerdem können wir die Vektoren durch ihre Komponenten ausdrücken:
r ⎛ a x ⎞ r ⎛ bx ⎞
a = ⎜⎜ ⎟⎟ b = ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝ay ⎠
⎝ by ⎠
Damit kann der Kosinussatz umgeschrieben werden:
r
r
(a x − bx ) 2 + (a y − b y ) 2 = a x2 + a y2 + bx2 + b y2 − 2 | a | ⋅ | b | cos γ
...
r
r
− 2a x bx − 2a y b y = −2 | a | ⋅ | b | cos γ
r
r
a x bx + a y b y =| a | ⋅ | b | cos γ
In der Zeile „…“ wurden die Klammern der linken Gleichungsseite ausmultipliziert und
die Gleichung vereinfacht. Am Ende steht ein ganz einfacher Ausdruck. Man
definiert:
r
r
r r r
r
a o b =| a | ⋅ | b | cos γ
“Skalarprodukt der Vektoren a und b “
r r
Unsere Rechnung hat ebenfalls gezeigt, wie man a o b ausrechnet, wenn die
r r
Komponenten der Vektoren bekannt sind: a o b = a x bx + a y by
Anmerkungen:
o Es gilt das Kommutativ- und Distributivgesetz für diese „Multiplikation“.
o Das Ergebnis dieses Produktes ist kein Vektor!
r r
r r
o Weil der Kosinus von 90o Null ist, gilt: a ⊥ b ⇔ a o b = 0