Aufgaben - Educanet.ch

Fachgruppe Mathematik der Kantonsschule am Burggraben, St.Gallen
Mathematik-Repetitorium für den Maturastoff
3.2. Skalarprodukt (Aufgaben)
1. Beweisen Sie den Satz: Das Skalarprodukt von zwei Vektoren ist genau dann Null,
wenn die Vektoren senkrecht zueinander sind.
⎛ 2⎞
⎛ − 2⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
2. Gegeben sind die Vektoren a = ⎜ 3 ⎟ und b = ⎜ 1 ⎟ . Bestimme u und v so, dass
⎜1⎟
⎜ − 3⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛u ⎞
⎜ ⎟
c = ⎜ 3 ⎟ senkrecht auf a und b steht!
⎜v⎟
⎝ ⎠
⎛ − 1⎞
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
3. Berechne den Winkel zwischen den Vektoren a = ⎜ 2 ⎟ und b = ⎜ 2 ⎟ .
⎜1⎟
⎜ 3⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ 4 ⎞
⎜ ⎟
4. Welchen Winkel schliessen der Vektor u = ⎜ − 7 ⎟ und die Koordinatenachsen ein?
⎜ − 4⎟
⎝ ⎠
⎛1⎞
⎛ 2 ⎞
⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
5. Spannen die Vektoren u = ⎜ 2 ⎟, v = ⎜ 1 ⎟ und w = ⎜ − 2 ⎟ einen Würfel auf?
⎜ 2⎟
⎜ − 2⎟
⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Fachgruppe Mathematik der Kantonsschule am Burggraben, St.Gallen
Mathematik-Repetitorium für den Maturastoff
Lösungen:
1.
a ⊥ b ⇒ cos α = 0 ⇒ a ⋅ b = 0
a ⋅ b = 0 ⇒ ab ⋅ cos α = 0 ⇒ ab = 0 d.h. :
1. a oder b ist Nullvektor. (Nullvektor ist senkrecht zu jedem Vektor.)
2. cos α = 0 ⇒ α = 90°.
2.
a ⊥ c ⇔ a ⋅ c = 0 ⇔ 2u + 9 + v = 0
I.
b ⊥ c ⇔ b ⋅ c = 0 ⇔ −2u + 3 − 3v = 0 II.
15
Aus I. und II. : u = −
und v = 6.
2
3.
cos α =
a ⋅b
−1+ 4 + 3
= 0.6547 ⇒ α = 49.1°
=
6 ⋅ 14
| a |⋅|b |
4.
⎛1⎞
⎜ ⎟
4
u ⋅ e1
x-Achse: e1 = ⎜ 0 ⎟ cos α1 =
=
= 0.4444 ⇒ α1 = 63.61°
81 ⋅ 1
| u | ⋅ | e1 |
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
−7
u ⋅ e2
y-Achse: e2 = ⎜ 1 ⎟ cos α 2 =
=
= −0.7778 ⇒ α 2 = 141.1°
81 ⋅ 1
| u | ⋅ | e2 |
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
⎛0⎞
⎜ ⎟
−4
u ⋅ e3
=
= −0.4444 ⇒ α 2 = 116.39°
z-Achse: e3 = ⎜ 0 ⎟ cos α 3 =
81
1
⋅
|
|
|
|
⋅
u
e
3
⎜1⎟
⎝ ⎠
5.
| u |=| v |=| w |= 9 = 3
u ⋅v = 2 + 2 − 4 = 0 ⇒ u ⊥ v
u⋅w= 2−4+2 = 0⇒u ⊥ w
v⋅w = 4−2−2 = 0⇒ v ⊥ w
⇒ Die Vektoren spannen eine Würfel auf.