Word Pro - g2-3

G2 Grundlagen der Vektorrechnung
G2.3 Produkte von Vektoren
Das Skalarprodukt
Beispiel: Ein Schienenfahrzeug soll von einem Trailer ein Stück s gezogen werden,
der neben den Schienen fährt (vgl. Skizze). Wir wollen die Arbeit berechnen unter
der Voraussetzung, dass sich das Fahrzeug nur längs der Schienen bewegen kann.
s
Fs
F
In der Physik ist die Arbeit W als Produkt aus der Kraft Fs in Wegrichtung und der
Weglänge s erklärt:
W Fs s
Wegen
Fs
F
cos
Fs
F cos
s
F
folgt daraus
W
Fs s
F cos
s
cos
F
s
cos F ; s
: F
s
Mit dieser Festlegung ist ein Produkt von zwei Vektoren vereinbart worden, dessen
Wert aber kein Vektor, sondern ein Skalar ist!
Definition: Unter dem Skalarprodukt a
b zweier Vektoren a und b versteht
man das Produkt aus a , b und cos a ; b . Dabei soll
a ; b der Winkel
sein, um den man a mathematisch positiv drehen muss, um die Richtung von b
zu erhalten:
a
b
a
b
cos a ; b .
Eigenschaften, Rechengesetze, Sonderfälle
1. Vorzeichen: Für 90 0
270 0 gilt a
b
0, sonst a
b
0.
G2-3-1
g2-3 erstellt am 03.05.2013
G2 Grundlagen der Vektorrechnung
90 0
2.
270 0
a
b
3. Es genügt, Winkel 0 0
) cos(180 0
cos(180 0
4. a
b
5. a
6. a
7.
b
2
a
a
b
a a
a
c
a
cos 0 0
a
a
cos(360 0
cos 0 0
a
b
b
b
a
b
a
a a
k
9.
b
c (Distributivgesetz)
10. a
b
c
a
a b cos
c
a b
a
2
a2
c Das Assoziativgesetz gilt im Allgemeinen nicht!
b
b
0
) ist (Kommutativgesetz!)
8. ohne Beweis: k a
a
cos 90 0
180 0 zu betrachten, da
)
b
a , weil cos
b
b
a
a
cos
a
a b
ab
b
(mehr dazu weiter unten!
Das Skalarprodukt im orthonormierten Koordinatensystem
Skizze:
x2
P(a1,a2)
Q(b1,b2)
a2
b
a
e2
x1
e1
Der Vektor 0A
a
a1
a2
a1
lässt sich mit Hilfe der entsprechenden Einheitsvektoren
e 1 und e 2 darstellen:
G2-3-2
g2-3 erstellt am 03.05.2013
G2 Grundlagen der Vektorrechnung
a
a1 e1 a2 e2
Dabei gilt e 1
sowie a 1
a
e2
a1
a2
1
e1 e1
cos und a 2
1, e 1 e 2
a
e1 e2
a 21 a 22
0 und a
sin
a1
a2
Für das Skalarprodukt zweier Vektoren a
und b
b1
b2
gilt dann unter
Anwendung der Rechenregeln für Vektoren
a b
a1 e1 a2 e2
b1 e1 b2 e2
a2 e2 b1 e1 a2 e2 b2 e2
a1 e1 b1 e1 a1 e1 b2 e2
a1 b1 e1 e1 a1 b2 e1 e2 a2 b1 e2 e1 a2 b2 e2 e2
a1 b1 a2 b2,
also
a
b
a1 b1 a2 b2
Beispiel: In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren
2
1
a
und b
gegeben. Berechnen Sie a b .
3
4
a
b
2
3
1
4
2 1 3 ( 4)
Anmerkung: Wegen a
Produkts, dass cos
b
a
b
2 12
cos
0 ist, dass also
10.
bedeutet das negative Ergebnis des
ein stumpfer Winkel ist.
Längenberechnungen
Im Folgenden beschränken wir uns auf die Koordinatendarstellung von Vektoren in
orthonormierten Koordinatensystemen.
Dann gilt (vgl. letzter Abschnitt):
Definition: Unter dem Betrag des Vektors a versteht man die reelle Zahl
a
a
2
bzw. a
a 21 a 22 a 23 .
Folgerungen:
G2-3-3
g2-3 erstellt am 03.05.2013
G2 Grundlagen der Vektorrechnung
1.
a
2.
a
3.
a
0
2
a
2
0
a
0
Im kartesischen Koordinatensystem gilt z. B.
2
1
5
a
a
2
22 ( 1) 52
a
30 .
Definition: Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit dem Betrag 1.
Ein derartiger Vektor lässt sich leicht so erzeugen:
a
0
a
a
a
e
e
a
Beispiel: a
1
2
3
2
12 ( 2) 32
a
14
a
0
1
14
1
2
3
1
14
2
14
3
14
Winkelberechnungen
Die Definition des Skalarprodukts erlaubt eine einfache Berechnung des Winkels
zwischen zwei Vektoren:
a
b
a b cos
Anmerkung: Für a
Beispiel: a
a b
ab
cos
0 oder b
1
2 , b
2
daraus folgt (eindeutig!)
3
0
4
a; b
0 wird kein Winkel zwischen a und b erklärt!
1
2
2
cos a ; b
arc cos 11
15
12
( 2)2 22
3
0
4
32
(0 ) 2 4 2
13 20 24
9 25
11
15
42, 8 0 .
G2-3-4
g2-3 erstellt am 03.05.2013
G2 Grundlagen der Vektorrechnung
Folgerungen, Anmerkungen
1. a
b
0
2. a
b
a b
a b
a
b
Als Anwendungsbeispiele des Skalarprodukts bieten sich zum Beispiel Nachweise
elementargeometrischer Sätze wie etwa des Satzes von Thales an:
C
b
c
a
A
B
-r
M
Voraussetzung: a
b
0
r
a b
Behauptung: C liegt auf dem Thaleskreis über AB, d. h. r
c
Beweis:
a
a
r
c, b
b
r
r
c
c
r
c
c
2
r
2
c2 r2
0
r
c
Mit Hilfe des Skalarprodukts lässt sich leicht ein Vektor x erstellen, der auf einem
gegebenen Vektor a senkrecht steht (Normalenvektor).
2
3
Beispiel: Es soll ein Normalenvektor zu a
Lösung: a
2
3
x
x1
=0
x2
0
a
gefunden werden.
x
2 x1 3 x2
0
2 x1
3 x2
x1
3
2
x2
Diese Gleichung ist nicht eindeutig lösbar, d. h. es gibt unendlich viele Normalenvektoren zu dem vorgegebenen Vektor a ; es ist aber leicht zu sehen, dass zum
Beispiel
G2-3-5
g2-3 erstellt am 03.05.2013
G2 Grundlagen der Vektorrechnung
1, 5
1
x
die Gleichung a
x
0 erfüllt.
Das Vektorprodukt
Auf das Vektorprodukt soll hier nur ganz kurz eingegangen werden.
Beispiel: Das Problem, zu zwei Vektoren a und b einen gemeinsamen Normalenvektor n zu finden, führt auf das Gleichungssystem
I n
a
0
II n
b
0
Dieses System führt zu einem Vektor, der als sog. Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
geschrieben werden kann:
n
a x b mit n
a
b
sin
a; b
Das Vektorprodukt ist so definiert:
Definiton: Zwei Vektoren a und b ist genau ein Vektor a x b zugeordnet, so dass
1. a x b senkrecht auf a und b ,
2. a , b , a x b ein Rechtssystem bilden,
3.
axb
a
b
sin
a ; b , wobei 0
ist.
Skizze:
axb
b
a
In kartesischen Koordinaten lässt sich (ohne Beweis) das Vektorprodukt so
schreiben:
G2-3-6
g2-3 erstellt am 03.05.2013
G2 Grundlagen der Vektorrechnung
a2b3 a3b2
a3b1 a1b3
a1b2 a2b1
axb
Anwendungen
Die Vektoren a und b spannen ein Parallelogramm auf (vgl. Skizzen), das wegen
h
b
sin( )
b sin( )
h
b
sin( )
b
sin
den Flächeninhalt
A Paralle log ramm
a h
a
axb
hat. Das von a und b aufgespannte Dreieck hat den halben Flächeninhalt des von
a und b aufgespannten Parallelogramms. Für seinen Flächeninhalt gilt damit
1
2
A Dreieck
1
2
a h
a
b
sin
1
2
axb .
b
b
h
h
a
a
Für den Flächeninhalt eines Dreiecks ABC gilt in einem orthogonalen
Koordinatensystem
im R 2 : A
1
2
im R 3 :
(a 1 b 2 a 2 b 1 ) (b 1 c 2 b 2 c 1 ) (c 1 a 2 c 2 a 1 )
A
1
2
ABxAC
Für den Flächeninhalt eines Parallelogramms, aufgespannt von den Vektoren a und
b im R2, gilt
A
a1 b2 a2 b1
G2-3-7
g2-3 erstellt am 03.05.2013
G2 Grundlagen der Vektorrechnung
Ein gerades Prisma, dessen Grundfläche ein Parallelogramm ist und von den Vektoren a , b und c
h
h aufgespannt wird, hat die Grundfläche A
h und damit das Volumen V
h
a x b , die Höhe
a x b . Steht der Vektor c nicht senkrecht
auf der durch a und b aufgespannten Grundfläche, dann entsteht ein schiefes
Prisma mit der Höhe
h
c
cos( )
h
c
cos( )
Für das Spatvolumen gilt dann
V
axb
h
axb
c
cos( )
axb
c .
Die Verknüpfung, die den Vektoren a , b und c eine reelle Zahl zuordnet, heißt
Spatprodukt.
Das Prisma in Abb. 222/2 kann durch einen Schnitt in zwei gleich große dreiseitige
Prismen zerlegt werden. Da jedes derartige dreiseitige Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zerlegt werden kann, folgt für die von den Vektoren a , b und c
aufgespannte Pyramide
V Pyramide
1
6
a
bxc
G2-3-8
g2-3 erstellt am 03.05.2013
G2 Grundlagen der Vektorrechnung
Skizzen dazu:
a
c
a
c
b
b
Zusammenfassende Eigenschaften des Vektorprodukts, Anwendungen:
v a x b ist ein Vektor, der sowohl auf a als auch auf b senkrecht steht.
v Die Vektoren a , b und a x b bilden ein Rechtssystem (wie Daumen, Zeigefinger
und Mittelfinger der rechten Hand).
v Das Vektorprodukt ist antikommutativ: b x a
v Schließen die Vektoren a und b den Winkel
axb
a
axb .
ein, so gilt:
sin( ) .
b
v Für den Flächeninhalt A eines von den Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms gilt A Paralle log ramm
axb .
v Für den Flächeninhalt A eines von den Vektoren a und b aufgespannten
1
2
Dreiecks gilt A Dreieck
axb .
v Für das Volumen V eines von den Vektoren a , b und c aufgespannten Parallelflachs gilt V
a
bxc
.
v Für das Volumen einer von den Vektoren a , b und c aufgespannten dreiseitigen Pyramide giltV
1
6
a
bxc
G2-3-9
g2-3 erstellt am 03.05.2013
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