Skalarprodukt / Betrag / Winkel

Skalarprodukt / Betrag / Winkel
Es seien a, b, c ∈ R 3 .
 a1   b1 
   
a ⋅ b =  a 2  ⋅  b 2  := a1 ⋅ b1 + a 2 ⋅ b 2 + a 3 ⋅ b 3
 a  b 
 3  3
Das Skalarprodukt:
Wir ordnen zwei Vektoren eine Zahl (ein Skalar) zu, wir haben eine Abbildung: R 3 × R 3 → R .
( )
(λ ⋅ a) ⋅ b = λ ⋅ (a ⋅ b)
Eigenschaften:
a⋅b = b⋅a ;
Orthogonalität:
Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander (orthogonal),
wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt: a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 .
Beispiele:
a ⋅ b + c = a⋅b + a⋅c ;
a)
 − 3  − 5

  
 − 4  ⋅  6  = (− 3 ) ⋅ (− 5 ) + (− 4 ) ⋅ 6 + (− 3 ) ⋅ 4 = 15 − 24 − 12 = − 21
 − 3  4 

  
b)
 − 2  2
   
 1  ⋅  1  = (− 2) ⋅ 2 + 1⋅ 1 + 3 ⋅ 1 = − 4 + 1 + 3 = 0
 3   1
   
Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.
(Der Satz vom „Nullprodukt“, wie wir ihn vom „normalen“ Rechnen kennen, gilt nicht.)
Der Betrag, also die Länge, eines Vektors a ∈ R 3 ist definiert als:
Betrag:
 a1 
 
a =  a 2  :=
a 
 3
Beispiele:
Entfernung:
a1 + a 2 + a3
2
2
a)
 − 1
 
 2  =
 − 3
 
(− 1)2 + 22 + (− 3)2
b)
 3
 
 5 =
 
 − 3
3 + 5 + (− 3 )
2
2
2
2
=
=
(Pythagoras im 3-dimensionalen)
1+ 4 + 9 =
3+5+9 =
14
17
Somit ergibt sich der Abstand / die Entfernung zweier Punkte A, B im R3
als die Länge ihres Verbindungsvektors:
d(A, B ) = AB = b − a
(oder umgekehrt)
Dipl.-Math. Markus Peitz • www.markus-peitz.de
Zuletzt geändert am 12.11.2015
Wir suchen den Abstand von A ( 4 / − 2 / 3
Beispiel:
) zu B ( − 2 / − 5 / 1 ) :
 − 2  4 
 − 6
   


d(A, B ) = AB = b − a =  − 5  −  − 2  =  − 3  = 36 + 9 + 4 = 49 = 7
 1   3 
 − 2
   


{}
Das Maß des Winkels zweier Vektoren a, b ∈ R 3 \ 0 berechnet sich als:
Winkel:
cos(ϕ) =
a⋅b
wobei 0° ≤ ϕ ≤ 180° .
a ⋅ b
Es ist zu beachten, dass in vielen Fällen nicht die Ortsvektoren der Punkte,
sondern die Verbindungsvektoren zweier Punkte einzusetzen sind.
Beispiele:
a)
 1
1
 
 
Wir suchen den Winkel zwischen a =  0  und b = 1 . (Ortsvektoren)
 1
1
 
 
 1  1
   
 0  ⋅ 1
 1  1
a⋅b
1+ 0 + 1
2
2
cos(ϕ) =
=     =
=
=
1+ 0 + 1 ⋅ 1+ 1+ 1
2⋅ 3
6
 1  1
a ⋅ b
   
 0  ⋅ 1
 1  1
   
⇒
b)
 2 
ϕ = cos −1
 ≈ 35,3°
 6
(Winkelmaß „DEG“ beachten)
Wir suchen die Maße der Innenwinkel des Dreiecks mit den Eckpunkten
A (2 / 4 / 3 ) , B (6 / 0 / − 4 ) und C (5 / − 4 / 2) .
Zu beachten ist, dass A, B und C die
Eckpunkte des Dreiecks sind. Die
Winkel werden von den Seiten, den
Verbindungsvektoren, eingeschlossen.
Weiterhin ist zu beachten, dass wir für
die Innenwinkel die Vektoren wählen,
die von dem jeweiligen Punkt weg zu
den Nachbarpunkten hin führen!
cos(α ) =
⇒
AB ⋅ AC
AB ⋅ AC
=
(b − a ) ⋅ ( c − a ) = K =
b−a ⋅ c−a
 4   3 

  
 − 4 ⋅  − 8
 − 7   − 1

  
 4   3 

  
 − 4 ⋅  − 8
 − 7   − 1

  
 51 
 17 
α = cos −1
 = cos −1
 ≈ 48,8° .
 9 ⋅ 74 
 3 ⋅ 74 
Dipl.-Math. Markus Peitz • www.markus-peitz.de
Zuletzt geändert am 12.11.2015
=K=
51
9 ⋅ 74
β, γ analog.