Elementare Geometrie - Universität Münster

Westfälische Wilhelms-Universität Münster
Mathematisches Institut
apl. Prof. Dr. Lutz Hille
Dr. Karin Halupczok
Übungen zur Vorlesung
Elementare Geometrie
Sommersemester 2010
Blatt 3 vom 26. April 2010
Abgabe bis zum 3. Mai 2010, 14:15 Uhr
Aufgabe 1
Man konstruiere ein gleichseitiges Dreieck und seinen Umkreis. Zwei Seiten des Dreiecks
werden in den Punkten A und S halbiert, und die Verlängerung von AS schneide den
Kreis im Punkt B. Zeigen Sie: S teilt AB im Verhältnis des goldenen Schnitts.
Aufgabe 2
R
cos ϕ
(a) Zeigen Sie: Die Vektoren des
der Form e(ϕ) :=
,ϕ∈
sin ϕ
der Länge 1 und jeder Vektor in 2 der Länge 1 hat diese Form.
2
(b) Zeigen Sie: Für ϕ, ψ ∈
R
R, sind Vektoren
R gilt he(ϕ), e(ψ)i = cos(ϕ − ψ).
(c) Leiten Sie aus (b) her: Ist θ der Winkel zwischen x = |x|e(ϕ) und y = |y|e(ψ)
hx, yi
.
(x, y ∈ 2 \ {0}), so gilt cos θ =
|x||y|
R
(d) Leiten Sie aus der Formel |x − y|2 = |x|2 + |y|2 − 2hx, yi und mit (c) den Kosinussatz
für das Dreieck her.
Aufgabe 3
(a) Zeigen Sie die Formel tan2
α
1 − cos α
=
.
2
1 + cos α
(b) Leiten Sie mit (a) und dem Kosinussatz den Tangensquadratsatz her: Sind a, b, c die
Seitenlängen eines Dreiecks, ist α der Winkel zwischen den Seiten der Länge b und c
und ist p := 21 (a + b + c), so gilt
tan2
(p − c)(p − b)
α
=
.
2
p(p − a)
Aufgabe 4
Gegeben sei ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c und dem Winkel α zwischen den
Seiten der Länge b und c.
α
r
=
, p := 12 (a + b + c).
2
p−a
Beweisen Sie damit und mit dem Tangensquadratsatz aus Aufgabe 3 die Formel
s
(p − a)(p − b)(p − c)
r=
.
p
(a) Zeigen Sie: Für den Inkreisradius r des Dreiecks gilt tan
(b) Zeigen Sie mit (a): Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt die Heronsche Formel
p
vol ∆ = p(p − a)(p − b)(p − c).