Höhere Mathematik 1 Präsenzübungen

M. Boßle, P. Engel
B. Krinn, Dr. I. Rybak
4. Gruppenübung zur Vorlesung
Höhere Mathematik 1
Prof. Dr. M. Stroppel
Prof. Dr. A.-M. Sändig
Wintersemester 2009/10
Präsenzübungen
Aufgabe P 14.
Es seien die folgenden Vektoren gegeben:
v1 =
1
1
, v2 =
0
2
, v3 =
5
4
 

1
1



3 .
−1 , w2 =
, w1 =
2
1

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind:
(a) Die Menge L (v2 ) ist ein Untervektorraum von R2 .
(b) Die Vektoren v1 und v2 sind linear unabhängig.
(c) Die Vektoren v1 und v2 bilden eine Basis von R2 .
(d) Es gilt: L (v1 , v2 , v3 ) = R2 .
(e) Die Vektoren v1 , v2 und v3 sind ein Erzeugendensystem von R2 .
(f) Die Vektoren v1 , v2 und v3 bilden ein Basis von R2 .
(g) Es gilt: hw1 | w2 i = 1.
(h) Es gilt: L (w1 , w2 ) = (x, y, z) ∈ R3 5x + y − 4z = 0 .
Aufgabe P 15.
Nach 2.4.3 der Vorlesung ist C ein R-Vektorraum. Welche der folgenden Mengen sind
R-Untervektorräume von C? Welche sind C-Untervektorräume?
(a) M1 = R
(b) M2 = z ∈ C Im(z) ≧ 0
(c) M3 = z ∈ C Im(z) = Re(z)
(d) M4 = z ∈ C (Im(z))2 = (Re(z))2
(e) M5 = z ∈ C |z − 1| = |z − i|
(f) M6 = {0}
Aufgabe P 16.
Gegeben seien die folgenden Funktion aus dem Vektorraum C 0 ([0, 2π]) (siehe 2.6.3):
f1 : R → R : x 7→ 1
f2 : R → R : x →
7 cos(2x)
Begründen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Die Funktionen f1 und f2 sind linear unabhängig.
(b) Es gilt (sin(x))2 ∈ L (f1 , f2 ) und (cos(x))2 ∈ L (f1 , f2 ).
(c) Es gilt sin(x) cos(x) ∈
/ L (f1 , f2 ).
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4. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 11.
In R3 seien die Punkte
P1 = (0, 0, 1),
P2 = (2, −1, 1),
Q1 = (1, 1, 1),
P3 = (3, −2, 2) sowie
Q2 = (2, 0, 2),
Q3 = (1, 0, α)
gegeben. Geben Sie die Ebene, die P1 , P2 und P3 enthält, und die Ebene, die Q1 , Q2 und
Q3 enthält, an. Berechnen Sie α so, dass die beiden Ebenen parallel sind.
Aufgabe H 12.
Sei V ein R-Vektorraum mit Skalarprodukt h· | ·i (siehe 2.6.2.) und b1 , b2 , b3 ∈ V so, dass
hb1 | b1 i = 1, hb1 | b2 i = 2, h b1 | b3 i = 0, h b2 | b2 i = 2, hb2 | b3 i = 2 und h b3 | b3 i = 3.
Berechnen Sie h b1 + b2 + b3 | α b1 − 2b3 − b2 i für α ∈ R und |b1 + b2 + b3 |2 .
Aufgabe H 13. Faktorisierung von Polynomen, Wurzelziehen bei komplexen Zahlen
Berechnen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichung
z 6 − 4z 5 + 5z 4 − 4z 3 + 5z 2 − 4z + 4 = 0
Hinweis: z = 2 ist mehrfache Lösung.
Aufgabe H 14.
o
αj X αj ∈ R der reellen Polynome
Wir betrachten den Vektorraum Pol2 R :=
vom Grad höchstens 2 und die Mengen B = {1, X, X 2 } und C = {X 2 , X − 1, X + 1}.
Weisen Sie nach, dass es sich um Basen von Pol2 R handelt.
nP
2
j=0
j
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