Ubungen zur Mathematik III, Serie 2

Universität Basel, HS 2008
Übungen zur Mathematik III, Serie 2
Algebraische Strukturen, komplexe Funktionen
1. Die Menge der reellen Zahlen R werde als Vektorraum über den rationalen Zahlen Q aufgefasst,
Vektoraddition und skalare Multiplikation seien durch die üblichen Verknüpfungen in R definiert.
Beweisen Sie, dass die Dimension von RQ nicht endlich ist.
Hinweis: P bezeichne die Menge der Primzahlen. Zeigen Sie, dass endliche Teilmengen der mit
Hilfe des Logarithmus definierten Menge log P := {log(p) | p ∈ P} über Q linear unabhängig sind.
2. Berechnen Sie alle n Lösungen {z1 , . . . , zn } ⊂ C der Gleichung z n = i sowie die Summe
und das Produkt
n
Q
n
P
zk
k=1
zk aller Lösungen, wobei n ∈ N eine natürliche Zahl und i die imaginäre Einheit
k=1
sei.
Geben Sie auch die Summe und das Produkt der n Lösungen der Gleichung z n + z + 1 = 0 an.
3. Zeigen Sie, dass die Menge C aller reellen 2 × 2-Matrizen der Form
x −y
, x, y ∈ R,
y x
mit der üblichen Matrizenaddition +M und Matrizenmultiplikation ·M zu einem Körper wird.
Überlegen Sie ferner, dass die Abbildung
C 3 z = x + iy 7→
x −y
y x
∈C
der komplexen Zahlen C auf C ⊂ Mat(2, R) einen Körperisomorphismus (C, +, ·) ∼
= (C, +M , ·M )
definiert.
4. C4 werde als Vektorraum über C aufgefasst.
(a) Sind die Vektoren x1 = (1, 0, 1, 0), x2 = (i, 0, 0, i) und x3 = (1 + i, i, 2i, 0) linear unabhängig ?
(b) Sind die Vektoren y1 = (1, 0, 1, 0), y2 = (i, 0, i, 0) und y3 = (1, 1, i, i) linear abhängig ?
(c) Wie sind (a) und (b) zu beantworten, wenn C4 als Vektorraum über R aufgefasst wird ?
5. Zeigen Sie, dass die komplexe Funktion
f (z) =
z−a
,
1 − āz
|a| < 1,
die offene Einheitsscheibe E = {z ∈ C | |z| < 1} bijektiv auf sich selbst abbildet.
6. Es sei h(z) = z + z1 . Bestimmen Sie die Bilder der Strahlen Arg(z) = const. unter der Abbildung
z 7→ h(z).
Abgabe: 3. Oktober 2008.
http://quasar.unibas.ch/˜aste/matheIII.html