Höhere Mathematik I

Blatt G5
19. November 2009
Höhere Mathematik I
WS 2009/2010
W. Kimmerle
Aufgabe G5.1 (schriftlich, Abgabe am 23. 11. 2009 in den Übungen)
Es seien die Punkte P1 = (2, 0, 0) und P2 = (1, 1, 1) im R3 gegeben.
a) Bestimmen Sie die Koordinatengleichungen der beiden Ebenen E1 und E2 ,
die durch die Punkte P1 und P2 gehen und im ersten Oktanten jeweils
definieren.
Pyramiden mit Volumen 50
9
b) Wie groß ist der Abstand der Ebenen zum Ursprung?
c) Berechnen Sie den Winkel zwischen E1 und E2 .
Aufgabe G5.2 (Aufgabe 412 von www.mathematik-online.org)
Gegeben seien die Vektoren




−1
2
~a =  0  und ~b =  −2 
1
0
sowie der Punkt P = (3, 1, 2).
a) Welchen Winkel ϕ, 0 5 ϕ 5 π, schließen ~a und ~b ein?
b) Bestimmen Sie die Hesse-Normalform der Ebene E , die von ~a und ~b aufgespannt wird und den Nullpunkt enthält.
c) Berechnen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebene E .
Aufgabe G5.3
Entscheiden und begründen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr sind.
a) Jede nichtleere Teilmenge einer linear unabhängigen Menge ist wiederum
linear unabhängig.
b) Jede echte Obermenge einer linear unabhängigen Menge ist linear abhängig.
c) Jede Menge von paarweise linear unabhängigen Vektoren ist linear unabhängig.
d) Jedes Paar orthogonaler Vektoren ist linear unabhängig.
e) Jede lineare Hülle der Dimension n > 1 ist linear unabhängig.
Aufgabe G5.4
a) Zeigen Sie, dass im Vektorraum der 2π -periodischen Funktionen von R
nach R die Funktionen 1, sin(x) und cos(x) linear unabhängig sind.
b) Zeigen Sie, dass im Vektorraum C 0 (R) die Menge
n x o
sin n n ∈ N0
2
linear unabhängig ist.
Aufgabe G5.5 (Aufgabe 1038 von www.mathematik-online.org)
Gegeben sei das gleichseitige Tetraeder mit den Ecken
A = (−2, 0, 0),
B = (2, 0, 0),
C = (c1 , c2 , 0), c2 > 0,
und D = (d1 , d2 , d3 ), d3 > 0.
a) Berechnen Sie die fehlenden Koordinaten von C und D .
b) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Geraden g durch A und D
sowie den Abstand des Punktes B zur Geraden g .
c) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung und die Hesse–Normalform der
Ebene durch die Punkte A, B, D . Unter welchem Winkel schneiden sich
diese Ebene und die Ebene durch die Punkte A, B, C ?
d) Berechnen Sie die Oberfläche des Tetraeders mit Hilfe des Vektorprodukts.
Die Aufgaben werden am 23. 11. 2009 in den Übungen besprochen.