Mathematische Methoden: Funktionalanalysis WS12/13

Institut für Physik
FB Theor. Physik
KFU Graz
W. Schweiger
Aufgabe 6: Betrachten Sie den 5-dimensionalen Vektorraum (V, +) der reellen
Polynome vom Grad ≤ 4
V = {p | p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 , ai , x ∈ R} .
Mathematische Methoden: Funktionalanalysis WS12/13
1. Übungsblatt (zu rechnen bis zum 9.10.2012)
Welche der folgenden
a) Elemente von V,
b) Elemente von V,
c) Elemente von V,
d) Elemente von V,
Mengen stellt keinen Unterraum dar und warum?
die p(x) = p(−x) erfüllen.
die p(0) = 1 erfüllen.
die p(1)
R 1 = p(−1) erfüllen.
die −1 dx xp(x) = 0 erfüllen.
Aufgabe 1: R+ sei die Menge der positiven reellen Zahlen, für die eine “Vektoraddition”durch a⊕b = a·b definiert ist (mit a·b ist die normale Multiplikation gemeint). Zeigen Sie, dass (R+ , ⊕) ein Vektorraum über dem Körper der
reellen Zahlen (R, +, ·) ist, wenn die skalare Multiplikation durch α⊗a = aα ,
α ∈ R, a ∈ R+ , gegeben ist.
Hinweis: Sie können dabei von der Voraussetzung ausgehen, dass (R, +, ·)
ein Körper ist.
Aufgabe 7: Schreiben Sie
Aufgabe 2: Zeigen Sie mit einer der Ihnen bekannten Methoden, dass folgende
Vektoren linear unabhängig voneinander sind:
Aufgabe 8: Stellen Sie fest, welche der folgenden Funktionen im Vektorraum
liegt, der durch e1 (x) = cos2 (x) und e2 (x) = sin2 (x) aufgespannt wird:
a) cos(2x),
b) 3 + x2 ,
c) 1,
d) sin(x).
a) (π, 0) und (0, 1),
b) (1, 1, 1) und (0, 1, −2),
c) (0, 1, 1) , (0, 2, 1) und (1, 5, 3).
f (x) = 9x2 + 2x − 5
als Linearkombination der Basisfunktionen {1, x, 23 x2 − 12 }.
Aufgabe 9: Zeigen Sie, dass
Aufgabe 3: Zeigen Sie mit einer der Ihnen bekannten Methoden, dass folgende
Funktionen linear unabhängig voneinander sind:
a) t und t2 ,
c) 1 , cos t und
b) t und
sin t,
cos 2t.
Aufgabe 4: Zeigen Sie, dass f0 (t) = 1, f1 (t) = cos t, f2 (t) = cos 2t und g(t) =
cos2 t nicht linear unabhängig voneinander sind. Wenn Sie g(t) in der Form
{f (t) | f (t) ist Lösung der DGL f ′′ + 5f ′ + 6f = 0 }
bezüglich der üblichen punktweisen Addition und Multiplikation von Funktionen mit einem Skalar (d.h. h = f ⊕ g :⇔ h(x) = f (x) + g(x) und
h = α ⊙ g :⇔ h(x) = αg(x), ∀x ∈ R) ein Vektorraum über R ist. Finden
Sie eine mögliche Basis.
g(t) = c0 f0 (t) + c1 f1 (t) + c2 f2 (t)
schreiben, wie lauten dann die Koeffizienten ci ?
Aufgabe 5: Gegeben sei die gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung
d2 u(x)
=0
dx2
auf dem Intervall 0 < x < 1. Wie groß ist die Dimension des Vektorraums
der Lösungen (als Funktionenraum aufgefasst), wenn die Lösungen noch die
Randbedingungen
a) u(0) = u(1),
b) u(0) = u(1) = 0,
c) u′ (0) = u′ (1) = 0,
erfüllen sollen?
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