Blatt10

Übungen zur Quantenmechanik II
Theoretische Physik V im WS 2008/2009 — Dr. M. Kastner
Abgabe: 09. Januar
Blatt 10
vor Zimmer 01.504
Aufgabe 30: Zur Lorentz-Gruppe
(a) Zeigen Sie, dass die Untergruppe der eigentlichen Lorentz-Transformationen L↑+ eine 6-dimensionale Gruppe ist, d. h. nur 6 der insgesamt 16 Matrixelemente eines Elements Λ ∈ L↑+ sind
voneinander unabhängig.
(b) Die Untergruppe der eigentlichen Rotationen wurde bereits in Aufgabe 11 behandelt. Bestimmen
Sie noch mit Hilfe der aus der Vorlesung bekannten Darstellung
γ(v)
γ(v)v T
1
Λ=
γ(v) = √
T ,
γ(v)v
vv
1 + γ(v)−1
1 − v2
v2
die verbleibenden Generatoren
∂Λ(v) Bk = i
∂vk v =0
der Lorentz-Boosts. Dabei ist c = 1 und für den Geschwindigkeitsvektor v ∈ R3 gilt |v| < 1.
(c) Zeigen Sie, dass die Generatoren von Boosts und eigentlichen Rotationen linear unabhängig sind.
Warum folgt daraus, dass sich jedes Element der Lie-Gruppe L↑+ durch Hintereinanderausführung
eines Boosts und einer eigentlichen Rotation darstellen lässt?
Aufgabe 31: Nichtrelativistischer Grenzfall der Klein-Gordon-Gleichung
Die zweikomponentige Wellenfunktion ξ =
ϑ
eines Teilchens der Masse m und Ladung e im elekχ
tromagnetischen Feld werde durch
1
1
ψ+
(i∂
−
eϕ)ψ
,
ϑ=
t
2
mc2
χ=
1
2
1
ψ−
(i∂
−
eϕ)ψ
t
mc2
definiert. Dabei bezeichne ϕ das Skalarpotential.
(a) Welcher Gleichung genügt ξ, wenn ψ Lösung der Klein-Gordon-Gleichung im elektromagnetischen Feld ist?
(b) Betrachten Sie nun den Fall ohne elektromagnetisches Feld. Man kann zeigen, dass eine Lösung
der Klein-Gordon-Gleichung zu positiver Energie im nichtrelativistischen Grenzfall v ≪ c die
Form
˜ t)e−imc2 t
ξ(r, t) = ξ(r,
˜ t) eine Funktion, die, verglichen mit der Frequenz mc2 , langsam in der
besitzt. Dabei ist ξ(r,
Zeit t variiert. Wie verhalten sich in diesem Limes die Beträge von ϑ und χ zueinander? Geben
Sie eine Bestimmungsgleichung für ϑ bis zur vierten Ordnung im Impuls an.
Aufgabe 32: Wellenpakete als Lösungen der freien Klein-Gordon-Gleichung
Betrachten Sie die freie Klein-Gordon-Gleichung in zweikomponentiger Schreibweise,
∂
1 −1 −1
1
0
i ξ = Hξ
∆+m
,
mit H =
1
1
0 −1
∂t
2m
in Einheiten von ~ = c = 1.
ϑ±
p
(a) Geben Sie zu gegebenem Impuls p ebene Wellen ξp =
an, die Lösungen der freien Kleinχ±
p
Gordon-Gleichung sind und die (uneigentliche) Orthonormalitätsbedingung
Z
∗
±
±∗ ±
′
χ
ϑ
−
χ
d3 x ϑ±
′
′
p p = ±δ(p − p )
p p
±
erfüllen.
W + und W − bezeichnen nun die Mengen der Wellenpakete, die durch Superposition von auf +δ(p−p′ )
beziehungsweise −δ(p − p′ ) normierten ebenen Wellen konstruiert werden können.
(b) Schreiben Sie die Wellenpakete Ξ± ∈ W ± unter Verwendung der Dispersionsrelation E(p) allgemein als Superposition ebener Wellen mit den Koeffizienten
g± (p). Welche Bedingung müssen
±
ϑ (x, t)
die g ± erfüllen, damit die Wellenpakete Ξ± (x, t) =
die Normierungsbedingung
χ± (x, t)
Z
d3 x |ϑ(x, t)|2 − |χ(x, t)|2 = ±1
erfüllen?
(c) Zeigen Sie, dass für die Komponenten Xi des Ortsoperators X die Eigenschaft Xi W ± 6⊂ W ±
gilt für i = 1, 2, 3.
(d) Zeigen Sie, dass perfekte Lokalisierung Ξ± (x) ∝ δ(x) in W ± nicht möglich ist.