Das skalare Produkt

Das skalare Produkt

Normalvektoren:
Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren a⃗ und ⃗b heißen zueinander normal, wenn die
zugehörigen Pfeile aufeinander normal stehen.
Zu jedem Vektor der Ebene gibt es zwei Normalvektoren.
−ya
Die zum Vektor a⃗ = (yxa ) gehörigen Normalvektoren haben die Koordinaten ⃗⃗⃗⃗
n1 = ( x )
a
a
ya
bzw. ⃗⃗⃗⃗
n2 = (−x ). Die Normalvektoren ⃗⃗⃗⃗
n1 und ⃗⃗⃗⃗
n2 haben dieselbe Länge wie der Vektor a⃗.
a

Skalares Produkt von Vektoren:
Beispiel: Es werden 5 Hefte zu 1 € pro Stück und 3 Stift zu 2 € pro Stück gekauft.
a) Berechne den Gesamtpreis P!
b) Stelle eine Formel für a1 Hefte zum Preis von b1 Euro bzw. a2 Stiften zum Preis von b2 Euro
auf!
a)
𝑃 = 5 ∙ 1 + 3 ∙ 2 = 11
Gesamtpreis: 11 €
b)
𝑃 = 𝑎1 ∙ 𝑏1 + 𝑎2 ∙ 𝑏2
Mithilfe von Vektoren kann man die Rechnung auch so anschreiben:
𝑎1
𝑏
𝑃 = (𝑎 ) ∙ ( 1 ) = 𝑎1 ∙ 𝑏1 + 𝑎2 ∙ 𝑏2
𝑏2
2
Preisvektor
Stückzahlvektor
Dieses Produkt der beiden Vektoren, bei dem das Ergebnis eine Zahl (= ein Skalar) ist, wird
als skalares Produkt zweier Vektoren bezeichnet.
a⃗ = (xa ) , ⃗b = (xb ) => a⃗ ∙ ⃗b = 𝑥𝑎 ∙ 𝑥𝑏 + 𝑦𝑎 ∙ 𝑦𝑏
ya
yb

Orthogonalitätsbedingung:
Zwei Vektoren stehen genau dann aufeinander normal, sind genau dann orthogonal, wenn
ihr skalares Produkt Null ist.
𝑎 ⊥ 𝑏⃗ ⇔ a⃗ ∙ ⃗b = 0

Projektion eines Vektors auf einen anderen:
Wenn man vom Endpunkt C des Vektors 𝑏⃗ eine Normale auf den Vektor 𝑎 zeichnet, erhält
man die Strecke AF. Die Länge dieser Strecke wird als Normalprojektion des Vektors 𝑏⃗ auf
den Vektor 𝑎 bezeichnet.
Für diese Normalprojektion des Vektors 𝑏⃗ auf den Vektor 𝑎 gilt:
𝑏𝑎 =
⃗
⃗a ∙ b
|a⃗|
1
Das skalare Produkt

Winkel zwischen zwei Vektoren
⃗ = AC
̅̅̅̅ und b
̅̅̅̅. Sie bilden das Dreieck ABC. Die dritte
Gegeben sind zwei Vektoren a⃗ = AB
Seite ist der Differenzvektor von a⃗ und ⃗b.
Um den Winkel 𝛼 im Dreieck ABC zu berechnen, wendet man den Cosinussatz an und erhält
nach einigen Umformungen die Formel:
⃗
a⃗ ∙ b
cos 𝛼 =
⃗|
|a⃗| ∙ |b
Beispiel:
−3 ⃗
2
) , b = ( ).
5
7
Ges: ∡(a⃗, ⃗b) a) zeichnerisch b) rechnerisch
Geg.: a⃗ = (

Mittelpunkt einer Strecke:
Wir suchen den Mittelpunkt der Strecke ̅̅̅̅
𝐴𝐵 .
|𝑦
),
|𝑦
).
𝐴(𝑥𝑎 𝑎 𝐵(𝑥𝑏 𝑏
Um den Mittelpunkt 𝐻𝐴𝐵 zu erhalten, addieren wir zu A die Hälfte des Vektors ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 .
1
𝑥𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐻𝐴𝐵 = (𝑦 ) + ∙ 𝐴𝐵
𝑎
2
𝑥𝑎 +𝑥𝑏
2
𝐻𝐴𝐵 = (𝑦𝑎+𝑦
)
𝑏
2
2