Mathematik: Mathematik: Vektoren

06.2004
Mathematik: Vektoren
Inhalt:
Definitionen
Elementare Vektoroperationen
Vektoren im Koordinatensystem
Definitionen
Eine Strecke mit einer vorgegebenen Richtung heisst Vektor.
Der Betrag eines Vektors mein dessen Länge.
Vektoren sind gleich, wenn sie dieselbe Richtung und dieselbe Länge haben.
Mit Resultierende (von Resultat) meint man den Vektor vom Anfangspunkt des ersten zum Endpunkt des
letzten Vektors.
Der Nullvektor hat keine Richtung: 0
Zwei Vektoren sind zueinander kollinear, wenn sie parallel sind (Winkel zwischen ihnen beträgt also 0°
oder 180°).
Elementare Vektoroperationen
Ein Vektor wird durch einen Pfeil dargestellt. Für dessen Beschriftung verwendet man Kleinbuchstaben: v.
Rechengesetze:
Für alle Grundoperationen gelten dieselben Gesetzmässigkeiten wie bei den Operationen mit reinen Zahlen
(Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz).
Addition:
Vektoren werden durch aneinander hängen oder durch Ergänzung zu einem Parallelogramm addiert. In
diesem Parallelogramm ist die Diagonale die Summe der beiden Vektoren (Resultierende).
V1 + V2
V1
V2
V2
V1 + V2
V1
5
v1 1
0
+
3
v2 2
6
=
8
v3 3
6
Subtraktion:
Vektoren werden durch Addition des Kehrvektors subtrahiert. Der Kehrvektors ist dabei sehr einfach durch
die Änderung der Richtung zu erhalten.
Multiplikation:
Vektoren werden mit einer Zahl n ∈ IN multipliziert, indem man den Vektor n-mal aneinander hängt. Bei der
Multiplikation mit einem negativen Faktor ändert sich zudem noch die Richtung des Lösungsvektors.
2
*
3
v1 2
6
= 2v1
6
4
12
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Anwendungsbeispiel:
Beweise, dass die Seitenmitten eines räumlichen Vierecks in einer Ebene liegen und ein Parallelogramm
bilden!
Skizze:
Lösung:
M4M1 = M4A + AM1 = 0.5 DA + 0.5 AB
D
M4
B
M2
M1
A
M2M3 = M2C + CM3 = 0.5 BC + 0.5 CD
M3
M4M1 + M2M3 = 0.5 (AB + BC + CD + DA) = 0.5 ( 0 ) = 0
M 4M 1 = - M 2M 3
C
M4M1 = M3M2
gleiche Richtung und gleicher Betrag
Vektoren im Koordinatensystem
3
P (3 / 3 / 3)
v
3
3
P’
Vektorkoordinaten werden untereinander geschrieben:
v
x
y
z
Die Vektorkoordinaten zeigen den Endpunkt des Vektors, der im Ursprung beginnt.
2
2
2
Die Länge eines Vektors berechnet sich folgendermaßen: √(x + y + z ) nach Pythagoras
Vektorzerlegung:
Der Vektor c soll mit den Einheitsvektoren a und b beschrieben werden.
c = 3a + 2b |
c = xa + yb (a, b und c sind Vektoren)
Aufgabe 1:
Zerlege den Vektor d (5 / 2 / -11) nach a = (3 / 7 / 4), b = (-5 / 2 / 3), c = (4 / -3 / -7)
Lösung: Gleichungssystem nach der Formel c = xa + yb + zc
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5 = x * 3 + y * -5 + z * 4
2 = x * 7 + y * 2 + z * -3
-11 = x * 4 + y * 3 + z * -7
5 = 3x – 5y + 4
2 = 7x + 2y – 3z
-11 = 4x + 3y –7z
*2
*5
*3
*5
20 = 41x – 7z
-40 = 29x – 23z
*23
*-7
740 = 740x
1=x
jetzt x, dann z einsetzen, um schließlich y zu ermitteln
d = a + 2b + 3c
Aufgabe 2:
Berechne die Koordinaten des Punktes D des Parallelogramms A (5/-2/5), B (7/2/9) und C(3/8/7).
Lösung:
Wenn die Reihenfolge der Buchstaben beibehalten werden soll, gibt es nur eine Lösungsmöglichkeit für D.
Wenn jedoch nicht auf die Reihenfolge der Buchstaben A, B, C und D geachtet wird, gibt es maximal 3
Lösungen. Das Mitteldreieck
D ’’
C
A
D ’’’
D’
B
AB = CD
Den Vektor AB bei C anhängen
Vektor AB ermitteln: AB ( [7 – +5] / [2 – -2] / [9 – 5] ) = AB (2/4/4)
© 2004 by Reto Da Forno
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