Schülerzirkel Mathematik - MA@TUM

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. Johann Hartl
19. Dezember 2012
Schülerzirkel Mathematik
Punkte kann man nicht addieren. Vektoren kann man addieren. Ein Vektor ~v wird re−−→
präsentiert durch eine gerichtete Strecke oder einen Pfeil AB mit dem Anfangspunkt
A und dem Endpunkt B. Dabei gilt die Parallelogrammregel
−−→ −−→ −→
AB + BC = AC.
Es gilt auch die Regel von der eindeutigen Abtragbarkeit von Vektoren:
−−→
−−→ −−→
Ist P ein Punkt und AB ein Vektor, so gibt es genau einen Punkt Q, so dass gilt: P Q = AB.
−−→ −−→ −→ −−→
Der Vektor AB + BA = AA = BB =: ~o heißt der Nullvektor.
Die Punkte, die im folgenden auftreten, brauchen nicht in einer Ebene zu liegen.
1. Für jede drei Vektoren ~x, ~y , ~z, gilt ein Assoziativgesetz:
(~x + ~y ) + ~z = ~x + (~y + ~z).
Jeder Vektor ~a hat eine Länge |~a| und falls ~a 6= ~o eine Richtung. Das Produkt k~a des
Vektors ~a mit einer reellen Zahl k > 0 ist ein Vektor mit der Länge k · |~a| und derselben
Richtung wie ~a. Falls k = 0, ist k~a = ~o, und falls k < 0, ist k|~a| entgegengesetzt zu ~a
gerichtet und hat das die Länge |k| · |~a|.
2. Für alle reellen Zahlen a, b und für alle Vektoren ~x, ~y gelten die Rechenregeln
(V1 ) a(b~x) = (ab)~x
(Assoziativgesetz)
(V2 ) (a + b)~x = a~x + b~x
(Distributivgesetz)
(V3 ) a(~x + ~y ) = a~x + a~y
(Distributivgesetz)
(V4 ) 1~x = ~x
(Einsgesetz)
Alle Punkte der Geraden g durch zwei verschiedene Punkte A und B erhält man, indem
−−→
−−→
man vom Punkt A aus alle Vielfachen k AB des Vektors AB anträgt.
Unter Verwendung eines Punktes O kann man schreiben:
−−→ −→
−−→
g : OX = OA + k AB,
k∈R
Da man Punkte nicht addieren kann, wählt man oft einen Punkt O, einen Ursprung, und
−−→
rechnet mit den Vektoren OX.
Aber der Punkt O ist nur ein Hilfspunkt. Wählt man einen anderen Ursprung O0 , so liefern
z.B.
−→ −−→ −−→
OZ = OX + OY
−−
→ −−→ −−→
O0 Z 0 = O0 X + O0 Y
zwei verschiedene Punkte Z und Z 0 . Man muss immer überlegen, ob die Rechnungen
sinnvoll sind, die man ausführt.
−−→
−−→
−−→
3. Wie schreibt man einen Vektor XY unter Verwendung der Vektoren OX und OY ?
−−→
4. Trägt man an einen Punkt X den Vektor 12 XY an, so erhält man den Mittelpunkt
−−→
−−→
M der Strecke XY . Wie schreibt man OM unter Verwendung der Vektoren OX und
−−→
OY ?
5. A, B, C und D seien vier Punkte im Raum, die nicht notwendig in einer Ebene
liegen. Die Mittelpunkte der Strecken AB, BC, CD und DA seien E, F , G und H.
Zeige, dass das Viereck EF GH ein Parallelogramm ist.
6. A, B, C und D seien vier Punkte im Raum, die nicht notwendig in einer Ebene
liegen. Der Mittelpunkt der Strecke AC sei E, der Mittelpunkt der Strecke BD sei
F . Zeige:
−−→ −−→ −−→
2EF = AB + CD.
7. Zeige: Die Diagonalen eines Parallelogramms im Raum schneiden einander in einem
Punkt, der Mittelpunkt beider Diagonalen ist.
8. Seien A, B, C drei Punkte im Raum, die nicht auf einer Geraden liegen. Seien MA ,
MB , MC die Mittelpunkt der Strecken BC, CA, AB. Dann heißen die Geraden
AMA , BMB , CMC die Seitenhalbierenden des Dreiecks ABC.
a) Zeige: Die drei Seitenhalbierenden des Dreiecks ABC schneiden einander in
einem Punkt S, dem Schwerpunkt des Dreiecks.
−→
−−−→ −→
−−−→ −→
−−−→
b) Zeige: SA = 2MA S, SB = 2MB S, SC = 2MC S.
9. An den geradlinigen und zueinander parallelen Ufern eines Flusses liegen einander
die Anlegestellen A, B eines Fährschiffes so gegenüber, dass die Strecke AB senkrecht ist zu beiden Flussufern. Der Fluss ist 2 km breit und hat eine konstante
Strömungsgeschwindigkeit von 3 m pro Sekunde. Das Fährschiff hat eine konstante
Geschwindigkeit von 18 km pro Stunde. Wie lange braucht das Fährschiff von der
Anlegestelle A zur Anlegestelle B?
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ~x, ~y 6= ~o ist die reelle Zahl
~x~y := |~x||~y | cos ∠(~x, ~y ).
Falls ~x = ~o oder ~y = ~o, ist ~x~y := 0.
10. Für alle k ∈ R und für alle Vektoren ~x, ~y , ~z gilt:
(S1 )
(S2 )
(S3 )
(S4 )
(S5 )
~x~y = ~y~x
~x(~y + ~z) = ~x~y + ~x~z
(k~x)~y = k(~x~y )
~x 2 := ~x~x = |~x|2 > 0 für ~x 6= ~o
~x~y = 0 ⇔ ~x = ~o oder ~y = ~o oder ∠(~x, ~y ) =
π
2
11. Kosinussatz: Liegt in einem Dreieck mit den Seiten a, b und c der Seite c der
Winkel γ gegenüber, so gilt
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.
Wie lautet die Aussage des Kosinussatzes für γ = π2 ?
12. Sind in einem Tetraeder die Kanten von zwei gegenüberliegende Kantenpaaren zueinander senkrecht, so gilt das auch für das dritte Paar gegenüberliegender Kanten.