Klausur 2

LK Mathematik S2
Klausur Nr. 2 I
10. 05. 04
Name:
Aufgabe 1:
Bestimme a so, dass jeweils der erste der Vektoren als Linearkombination der anderen beiden
dargestellt werden kann Bzw. so, dass die drei Vektoren linear abhängig sind).
2
 1  8   a 


b)  1  ,  4  ,  a 
0  1   1 
     
 3  6 3
     
 6 , 4 , 0 
 1  4   a 
     
a)
Aufgabe 2:
Zeige, dass folgendes gilt: Falls drei Vektoren a,b und c eines Vektorraums linear
unabhängig sind, dann sind es auch die Vektoren a +b, b +c und c .
Aufgabe 3:
Sind folgende Sätze wahr oder falsch ? – Gib jeweils eine Begründung an:
SATZ 1: Wenn eine Menge von Vektoren ( v1 , v2 ,...., vk ) linear unabhängig ist, bleibt sie es
auch, wenn ein beliebiger Vektor dazugenommen wird.
SATZ 2: Wenn eine Menge von Vektoren ( v1 , v2 ,...., vk ) linear abhängig ist, bleibt sie es
auch, wenn einer der Vektoren weggenommen wird.
Aufgabe 4:
Zeige, dass die folgenden 5 magischen Quadrate der Ordnung 4 linear unabhängig sind:
(Bezeichne den Nullvektor mit Q0 und benutze die Komponenten r1, r2,..., r5.)
0
0
0
4
0
0
0
1
1
0
0
5
0
2
1
1
1
4
- 13
19
0
7
1
-2
1
-4
5
2
0
3
17
-9
0
-5
3
8
3
6
-2
-3
10
4
7
- 10
5
4
7
-5
Q1
Q2
Q3
0
0
1
2
0
1
0
-3
0
8
-9
4
0
4
5
- 11
0
7
-3
-1
0
-2
-9
9
3
- 12
14
-2
-2
-5
2
3
Q4
Q5
LK Mathematik S2
Klausur Nr. 2 II
10. 05. 04
Name:
Aufgabe 5:
Der Schwerpunkt S eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden.
Beschreibe anhand einer Skizze, wie man mit Hilfe der Vektorrechnung für ein beliebiges
Dreieck ABC – mit den Ortsvektoren a,b und c - den Schwerpunkt bestimmen kann.
Bezeichne den Mittelpunkt der Strecke AB mit Mc, den Mittelpunkt der Strecke BC mit Ma
und den Mittelpunkt der Strecke AC mit Mb .
Aufgabe 6:
Gegeben ist das Dreieck A = (2 | 2 | 1), B = (14 | 2 | 1), C = (5 | 5 | 4),.
6.1 Zeige, dass das Dreieck nicht gleichschenklig ist.
6.2 Berechne den Winkel α des Dreiecks.
6.3 Bestimme mit Hilfe des in Aufgabe 1 angegebenen Verfahrens den Schwerpunkt des
Dreiecks. (Beachte: Es genügt, den Schnittpunkt zweier Seitenhalbierender zu berechnen! Du
darfst voraussetzen, dass die dritte Seitenhalbierende durch diesen Punkt geht.)
Aufgabe 7:
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ABC hat den Ortsvektor
a b c
+ + .
3 3 3
Überprüfe, ob dies für das Dreieck aus Aufgabe 6 und den errechneten Schwerpunkt S gilt.
Bewertung:
I Lineare (Un-) Abhängigkeit:
II Geometrie:
NOTE:
laufende Kursarbeit: