Analytische Geometrie I Vektoren und Vektorräume

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Analytische Geometrie
Intention:
Erarbeitung eines Verfahrens, mit dessen Hilfe man jede geometrische Aufgabe durch Rechnung lösen kann.
I
1
Vektoren und Vektorräume
Pfeile und Vektoren
Vektoren sind gerichtete Größen. Physik: Kraft, Geschwindigkeit, Weg, El. Feldstärke... Darstellung durch
Pfeile.
Definition
1.
Jedes geordnete Paar (P|Q) zweier Punkte P und Q beschreibt einen Pfeil PQ . P ist der
Anfangspunkt, Q der Endpunkt des Pfeils.
2.
Zwei Pfeile PQ und RS heißen parallelgleich, wenn folgendes gilt:
a. PQ||RS
b. Sie haben die gleiche Richtung
PQ
c. PQ = RS
3.
RS
Die Menge aller zu PQ parallelgleichen Pfeile heißt Vektor PQ . Jeder einzelne Pfeil aus der
Menge heißt Repräsentant des Vektors.
Bemerkungen
(1) Zeichnen kann man immer nur einen Repräsentanten, nie einen Vektor.
(2) Nicht immer unterscheidet man streng zwischen einem Vektor und seinem Repräsentanten.
Schreibweisen
(1) PQ
r
(2) a
(3)
deutsche Schrift
Gegenvektor und Nullvektor
BA ist der Gegenvektor zu AB . Man schreibt: BA = - AB
BA
AB
r
Der Vektor mit der Länge 0 heißt Nullvektor 0 . Der Nullvektor hat keine Richtung.
Betrag eines Vektors
r
r
| a |= a: Länge des Pfeils. Ist | a |=1, so nennt man den Vektor Einheitsvektor. Zu jedem Vektor
r
r
a ≠ 0 gibt es eindeutig einen gleichsinnig parallelen Einheitsvektor.
1
2
Die Addition von Vektoren
Physik: Die Ermittlung der resultierenden Kraft aus zwei Kräften, die an einem Körper angreifen, geschieht
durch Aneinanderhängen der zugehörigen Kraftpfeile.
Die Vektoraddition wird dargestellt durch die Addition zweier Repräsentanten. Der Summenvektor
beginnt am Fuß des ersten Vektors und endet an der Spitze des zweiten Vektors (Spitze-FußKopplung).
Definition
r
r
r
r
Sei a = AB , b = BC . Dann heißt AC Summe der Vektoren a und b
AB + BC := AC
Definition der Differenz
r
r
r
r
Als Differenz zweier Vektoren a und b bezeichnet man die Summe von a und - b .
r
r r
r
a - b := a +( - b ).
Summe von mehr als zwei Vektoren
in der Ebene
r
r
r
(unten: Zeichnen: a (5r, 0 h); b (3r, 2h); c (1r, 5h))
H
G
E
F
r r
b+c
r
c
r
b
r r r
a+b+c
D
C
r r
a+b
A
r
a
B
2
Bestimme in
Abhängigkeit
r r r
von a , b , c :
v r
BE = c − a
r r
FH = b − a
r v
GB = − b − c
r r r
BH = b − a + c
r r r
DF = a − b + c
Geschlossene Vektorkette
r r r r r v
a+b+c+d+e=0
Für die Addition von Vektoren gelten folgende Gesetze:
(1) Die Summe zweier Vektoren ist wieder ein Vektor. (ABGESCHLOSSENHEIT)
r r r
r r r
(2) a + ( b + c) = (a + b) + c (ASSOZIATIVITÄT)
r
r r r
(3) Für alle a gilt: a + 0 = a (EXISTENZ DES NEUTRALEN ELEMENTS)
r
r
r
r
(4) Für jeden Vektor a existiert ein INVERSES ELEMENT - a mit a + ( − a ) = 0
r r r r
(5) a + b = b + a (KOMMUTATIVITÄT)
Eine Menge, auf der eine Verknüpfung mit dem Gesetzen (1) – (4) definiert ist, heißt Gruppe, gilt auch
noch (5), so heißt die Gruppe abelsch (oder kommutativ).
(Referatthema!)
-
Veranschaulichung der Axiome (2) und (5)
H
r
a
G
E
r
b
r
b
r r r
r r r
( a + b) + c = a + ( b + c )
r r
b+c
r
c
r
c
F
D
C
r
a
r r r r
a+b=b+a
r r
a+b
r
a
A
-
r
b
B
Beispiele für Gruppen auf bekannten Zahlenmengen
keine Gruppen: (N0, +); (Z, ⋅) (Inverse!); Gruppen: (Z, +); (Q, +); (Q, ⋅); (R, +); (R, ⋅);
Deckdrehungsgruppe des gleichseitigen Dreiecks
3
r
a
-
a1 
 
a 2 
a 
 3
(R , +): Tupel aus drei reellen Zahlen
3
mit der darauf definierten Addition:
Wegen der Gültigkeit der Gruppenaxiome und in 3. beschriebener Gesetze wird sich (R3, + ) als Model lfür
den dreidimensionalen Raum eignen!
 a 1   b1   a 1 + b1 

    
a 2  +  b2  = a 2 + b2 
a   b  a + b 
3 
 3  3  3
Überprüfung der Gruppenaxiome:
1. Abgeschlossenheit: Mit a1, a2, a3, b1, b2, b3 ∈ R gilt:
 a 1   b 1   a 1 + b 1 ∈ R 
 
    
3
 a 2  +  b 2  =  a 2 + b 2 ∈ R  ∈ R
 a   b   a + b ∈ R 
3 

 3  3  3
2.
3.
4.
5.
A-Gesetz: siehe Buch S. 22
0
 a1  0  a1 + 0   a1 
 
  
    
Neutrales Element:  0  , da  a 2  +  0  =  a 2 + 0  =  a 2 
0
a  0 a + 0 a 
 
  3
 3    3
 a1 
 − a1 

 

Invers zu  a 2  ist  − a 2 
a 
− a 
 3
 3
 a 1   b1   a 1 + b1   b1 + a 1   b1   a 1 
    
 
    
K-Gesetz:  a 2  +  b 2  =  a 2 + b 2  =  b 2 + a 2  =  b 2  +  a 2 
a   b  a + b   b + a   b  a 
3 
3 
 3  3
 3
 3  3  3
Aufgaben: Buch S. 19/3, 5; 27/3, 6
4
3
Die S-Multiplikation; Vektorraum
Will man eine Kraft zwar der Richtung nach beibehalten, ihren Betrag aber verändern, so wird man symbolisch
die Länge des Kraftpfeils verändern.
r
r
G = k⋅F
r
r
G hat k-fache Länge von F
k > 0: gleichgerichtet
k < 0: entgegengesetzte Orientierung
r
r
H = −1,5 ⋅ F
r
F
r
r
G = 3⋅F
Definition
r
r
r
Ist a ein Vektor und k ∈ , so versteht man unter k ⋅ a einen zu a parallelen Vektor der |k|-fachen
r
r
r
r
Länge von a , der für k > 0 gleichsinnig, für k < 0 gegensinnig zu a orientiert ist (0 ⋅ a = 0 ). Man
r
nennt k ⋅ a die S-Multiplikation (= Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar)
Für die S-Multiplikation gelten folgende Gesetze
(1) Gemischtes Assoziativgesetz
r
r
m ⋅ (n ⋅ a ) = (m ⋅ n) ⋅ a
r
r
r
Bsp: (-3) ⋅ ((-2) ⋅ a ) = ((-3) ⋅ (-2)) ⋅ a = 6 a
(2) 1. Distributivgesetz
r
r
r
m ⋅ a + n ⋅ a = (m + n) ⋅ a
r
r
r r
r
r
Bsp: 4 a + 3 a = 7 a ; 3 a - 4,5 a = -1,5 a
(3) 2. Distributivgesetz
r
r
r
r
m ⋅ a + m ⋅ b = m ⋅ (a + b )
(4) Neutrales Element der Multiplikation
r r
1⋅ a = a
Definition
Eine Menge von Elementen, die eine additive abelsche Gruppe bilden und für die die Gesetze der SMultiplikation gelten, heißt linearer Vektorraum.
Beispiel
Für den in Kapitel 2 beschriebenen R3 lässt sich eine S-Multiplikation definieren durch
  a 1 
 s ⋅ a 1   rs ⋅ a 1 
 a1 
a1   s ⋅ a1 


 

 
  
  
s ⋅  a 2  =  s ⋅ a 2  (z. B. Assoziativgesetz: r ⋅ s ⋅  a 2  = r ⋅  s ⋅ a 2  =  rs ⋅ a 2  = (rs) ⋅  a 2  )
 s ⋅ a   rs ⋅ a 
a 
a  s ⋅ a 
  a 3 
3 
3 
3 


 3
 3 
  
5
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