Skalarprodukt – Zusammenfassung - Julix

Skalarprodukt – Zusammenfassung
Im Folgenden gelte stets: ~a, ~b, ~c ∈ R3
Definition des Skalarproduktes:
und
a, b, r, s ∈ R
~a · ~b := ax bx + ay by + az bz
(1)
Kommutativität, Distributivität und Linearität:
~a · ~b
~a · (~b + ~c)
= ~b · ~a
= ~a · ~b + ~a · ~c
(2)
~a · (s · ~b)
~a · (r · ~b + s · ~c)
=
(s · ~a) · ~b
= r · ~a · ~b + s · ~a · ~c
(4)
(3)
(5)
Fehlende Assoziativität:
~a · (~b · ~c) 6= (~a · ~b) · ~c
(6)
~a2 := ~a · ~a = a2x + a2y + a2z
(7)
Quadrat eines Vektors:
Länge eines Vektors:
a = |~a| =
q
√
~a2 = a2x + a2y + a2z
(8)
Einheitsvektor:
1
~a
= · ~a
|~a|
a
0
~a = a · ~a
~a 0 =
(9)
(10)
Skalarprodukt zwischen zwei kollinearen Vektoren:
~a · ~b = ±ab , wenn
~a k ~b.
(11)
Skalarprodukt zwischen zwei orthogonalen(zueinander senkrechten) Vektoren:
~a · ~b = 0 , wenn
~a ⊥ ~b
(12)
~a · ~b = a · b · cos ^(~a, ~b)
(13)
Skalarprodukt für beliebige Winkel:
Julix Lernhilfe
Jan Zacharias
2007