1 Skalarprodukt Unter dem Betrag eines Vektors versteht man die

Skalarprodukt
Unter dem Betrag eines Vektors
bezeichnet. In der Ebene
bzw.
versteht man die Länge des zu
bzw. allgemein in
gehörenden Pfeiles. Der Betrag wird mit
gelten für den Betrag folgende Darstellungen
. (Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras)
Für den Betrag gelten folgende Eigenschaften
1.
2.
, insbesondere
für alle
3.
.
.
(Dreiecks-Ungleichung , vgl. auch Analysis)
Beispiel: Der Betrag von
ist
Übungen
1. Bestimmen Sie den Abstand der Punkte
und
2. In welchen Fällen gilt für die Vektoren
die Gleichung
3. Bestimmen Sie die fehlende Koordinate so, dass
4. Welche besondere Form hat das Dreieck
.
?
vom Punkt
und
den Abstand 3 hat.
Unter dem Winkel zwischen den Vektoren und versteht man den
kleineren Winkel zwischen den Pfeilen der Vektoren. In dem folgenden Bild
ist
die Projektion des Vektors
auf den Vektor . Für die Projektion gilt
im Fall
:
. Das letzte Produkt wird
sich für unsere Fragestellungen in diesem Kapital als nützlich erweisen.
Definition und Satz
Ist
der Winkel zwischen den Vektoren
, so heißt
das Skalarprodukt der Vektoren
. (Bemerkung: Die Bezeichnung Skalarprodukt erinnert daran, dass dieses Produkt kein Vektor, sondern ein
Skalar, also hier eine reelle Zahl, ist.
Für
ist das Skalarprodukt positiv, für
ist das Skalarprodukt null und für
das Skalarprodukt negativ. Zwei Vektoren
gleich null ist, wir schreiben
ist
heißen orthogonal (bzw. senkrecht), wenn ihr Skalarprodukt
.
Übungen
1. Bestimmen Sie
für das Dreieck im
nebenstehenden Bild.
2. Bestimmen Sie die folgenden Skalarprodukte für die
Raute im nebenstehenden Bild:
3. Überlegen Sie sich für eigene Vektoren die
entsprechenden Skalarprodukte.
1
Für das Skalarprodukt existiert eine Koordinatenform. Es gilt
bzw. allgemein
Die Koordinatenform des Skalarproduktes ermöglicht es nun, die
Größe des Winkels zwischen zwei Vektoren aus ihren Koordinaten zu
berechnen.
Übungen
1. Gegeben ist der Tetraeder OABS. Berechnen Sie den Winkel
.
2. Bestimmen Sie alle Vektoren, die zu
und
orthogonal sind.
Hausaufgaben
1. Gegeben ist eine Gerade durch die Punkte
und
aller Punkte der Geraden , die von den Abstand 9 haben.
[ zur Kontrolle: Einer der Punkte hat die Koordinaten
].
. Bestimmen Sie die Koordinaten
2. Gegeben sind
so, dass
und
. Bestimmen Sie eine Zahl
ist.
Interpretieren Sie die Lage der Vektoren geometrisch.
3. Gegeben ist ein Dreieck
durch die Punkte
und
. Bestimmen Sie den
Fußpunkt der Höhe . [Unter dem Fußpunkt versteht man den Schnittpunkt des Lotes von C auf die
Strecke AB. ]
4. Die nebenstehende Grafik zeigt die Anordnung
der Balken eines Daches.
a) Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem
und beschreiben Sie die Lage eines Sparrens
und einer Windrispe durch einen Vektor.
b) Berechnen Sie die Länge einer Windrispe und
die Größe des Winkels zwischen Sparren und
Windrispe.
2