Lineare Algebra II für Mm/BWM Übungsblatt 2

TU Bergakademie Freiberg
Institut für Diskrete Mathematik und Algebra
Prof. Dr. Martin Sonntag
Dr. Uwe Weber
Freiberg, den 7. April 2017
Lineare Algebra II für Mm/BWM
Übungsblatt 2
zu wiederholen: Koordinaten, Basistransformationsmatrizen; Skalarprodukt, Euklidische und unitäre Räume, normierte Räume; Orthogonalität, orthogonale Projektion,
orthogonales Komplement, Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren, Fundamentalmatrix, Cauchy-Schwarz-Bunjakowski-Ungleichung
1. Seien die Mengen
  
  
1
1
0 












1
−1
  
  2 






B =  2 ,  0 ,  2  ,



 0   2   2 






3
1
2







0
B = 







1
5
6
4
7
 


,







−1
3
2
0
1
 


,







0
−2
−2
−2
−2












gegeben. Beide sind Basen für denselben Teilraum U ⊂ M5,1 (R).
a) Wie kann das nachgewiesen werden (auf Durchführung der Rechnung wird
verzichtet)?
b) Geben Sie die Matrix A der Basistransformation von der Basis B zur Basis
B0 an.
c) Sei



x=


8
16
24
20
32



 ∈ U.


Geben Sie die Koordinatenvektoren xB und xB0 von x bezüglich der beiden
Basen B und B0 an.
d) Ermitteln Sie mit dem Gauß-Jordan-Verfahren die Inverse der obigen Matrix
A.
 
1
e) Sei xB =  0  (Koordinatenvektor von x bzgl. der Basis B).
3
Ermitteln Sie mit dem Ergebnis von Aufgabe (d) den Koordinatenvektor xB0 .
2. In einem Euklidischen
(oder unitären) Raum wird wie üblich eine Norm definiert
p
durch ||x|| := hx, xi. Man zeige, daß diese Norm die sogenannte Parallelogrammidentität
||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2 )
erfüllt.
x1 := |x1 | + |x2 | ist eine Norm auf M2,1 (R), die aber nicht
3. Man zeige: x2 1
durch ein Skalarprodukt erzeugt wird. (Die Gültigkeit der Dreiecksungleichung für
Beträge reeller Zahlen wird als bekannt vorausgesetzt.)
4. Es sei U ∈ SubM4,1 (R) der von den Vektoren





12
8
1
 0 
 0 
 1




a1 = 
 16  , a2 =  19  und a3 =  0
0
0
0




erzeugte Unterraum von V = M4,1 (R), versehen mit dem üblichen Skalarprodukt.
a) Geben Sie (mit Hilfe des Schmidtschen ON-Verfahrens) eine Orthonormalbasis in U sowie im orthogonalen Komplement U ⊥ an.
 
1
 7 
⊥

b) Ermitteln Sie die orthogonale Projektion von x = 
 7  auf U und auf U .
3
5. Sei V unitärer Raum mit einem Skalarprodukt h·, ·i, A = {e1 , . . . , ek } ⊆ V ein
Orthonormalsystem, U := L(A). Für die Orthogonalprojektion PU (x) von x ∈ V
auf U gilt
PU (x) =
k
X
cj (x) ej .
j=1
Dabei ist bekanntlich cj (x) = hx, ej i. Die cj (x) werden als Fourierkoeffizienten von
x bezüglich A bezeichnet. Man zeige:
k
P
a)
|cj (x)|2 ≤ ||x||2 (Besselsche Ungleichung)
j=1
b) A ist ON-Basis von V genau dann, wenn für alle x ∈ V in der Besselschen
Ungleichung Gleichheit gilt (Parsevalsche Gleichung).
6. In M2,1 (R) sei das Skalarprodukt hx, yi = 2x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + x2 y2 gegeben.
Ermitteln
die Fundamentalmatrix dieses Skalarprodukts bezüglich der Basis
Sie 1
1
,
.
0
1
7. In V = Mn,1 (C) werden die Summennorm kxk1 =
n
X
|xk | und die Euklidische
k=1
Norm kxk2 =
n
X
!1/2
|xk |2
betrachtet.
k=1
Zeigen Sie, dass für alle x ∈ V die Abschätzung kxk1 ≤
√
n kxk2 gilt.