Lösungshinweise zu Übungsblatt 3

Universität Würzburg
Mathematisches Institut
Dr. J. Jordan, L. Lauerbach
Wintersemester 2015/16
27.10.2015
3 . Übung zur Analytische Geometrie
Abgabe: Bis 03.11.2015, 12.14 Uhr, in der Vorlesung.
3.1 (2+2+4 Punkte)
Im R4 seien die folgenden Geraden gegeben.
 
 
 
 
1
1
3
0
3
−1
2
1

 
 
 
g1 = 
−1 + R  1  und g2 = 2 + R 1 .
−1
1
1
0
a) Zeigen Sie, dass sich die beiden Geraden schneiden und bestimmen Sie den
Schnittpunkt.
b) Nun sei der R4 mit dem Standardskalarprodukt versehen. Bestimmen Sie den
Winkel zwischen g1 und g2 .
c) Finden sie ein Skalarprodukt auf R4 , bezüglich dessen sich die beiden Geraden g1
und g2 im Winkel α mit cos(α) = 3√1 2 schneiden. Hinweis: Probieren Sie es mit
einem Skalarprodukt φ(x, y) = x> Dy, wobei D eine geeignete Diagonalmatrix
ist.
Lösungshinweise:
a) Gleichungssystem aufstellen und lösen:
 
   
 
1
1
3
0
3
−1 2
1
  + λ  =   + µ .
−1
 1  2
1
−1
1
1
0
Dies liefert λ = 2 und µ = −1. Da das Gleichungssystem lösbar ist, schneiden sich die
Geraden. Der Schnittpunkt wird duch einsetzen von λ bzw µ in die jeweilige Gerade
bestimmt und lautet (3, 1, 1, 1)T .
b) Das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren ist (1, −1, 1, 1)(0, 1, 1, 0)T = 0, also
stehen sie senkrecht aufeinander. Der Winkel beträgt also π, bzw. 90◦ .
c) Wähle als Ansatz für das Skalarprodukt φ : R4 × R4 → R4 , (x, y) 7→ xT Ay mit
A = diag(a, b, c, d) als Diagonalmatrix, wobei a, b, c, d > 0 gelten muss, um die positive
Definitheit zu garantieren. Der Winkel zwischen den beiden Geraden berechnet sich dann
−b + c
φ(x, y)
√
= √
, wobei x und y die Richtungsvektoren
mit cos(α) =
kxkφ kykφ
a+b+c+d b+c
der Geraden sind. Dies ist also z.B. für a = 1, b = 1, c = 2 udn d = 1 erfüllt. Das gesuchte
Skalarprodukt ist also z.B. φ : R4 × R4 → R, (x, y) 7→ xT Ay mit


2 0 0 0
0 1 0 0

A=
0 0 2 0
0 0 0 1
3.2 (3+3 Punkte)
a) Zeigen Sie, dass durch
φ : R2×2 × R2×2 → R,
φ(A, B) = Spur(A> B)
ein Skalarprodukt auf R2×2 definiert ist. Zur Erinnerung: Die Spur einer
quadratischen Matrix ist die Summe der Diagonaleinträge der Matrix.
b) Finden Sie ein rechtwinkliges Dreieck in R2×2 bezüglich φ, also Matrizen A, B ∈
R2×2 , so dass kAk2φ + kBk2φ = kA − Bk2φ ist.
Lösungshinweise:
a11 a12
b11 b12
a) Es gilt für A =
und B =
a21 a22
b21 b22
φ(A, B) = Spur(A> B) = a11 b11 + a12 b12 + a21 b21 + a22 b22 .
Für ein beliebiges, aber festes B ist jeder Summand linear in A und daher die
Summe ebenfalls. Analog ist φ auch für jedes feste A in B linear. φ ist offensichtlich
symmetrisch und es gilt
φ(A, A) = a211 + a212 + a221 + a222 .
Dieser Ausdruck ist nie negativ und nur dann Null, wenn a11 = a12 = a21 = a22 = 0
gilt, also A die Nullmatrix ist. Daher ist φ ein Skalarprodukt.
b) Die Aufgabe besteht daraus, zwei Matrizen A, B 6= 0 zu finden, die aufeinander
senkrecht stehen, für die also
φ(A,
B) = 0 gilt.
An
der ausgerechneten Form in a)
1 0
0 1
sieht man, dass z.B. A =
und B =
diese Forderung erfüllen.
0 0
0 0