Das Skalarprodukt Beweise Rechenregeln

École Internationale Allemande
Das Skalarprodukt
inneres Produkt, Punktprodukt
s ca l a r p r o d u c t , d o t p r o d u c t
Definition
   
a ⋅b =| a | ⋅| b | ⋅cosγ
Satz von der Koordinatenform des Skalarprodukts
⎛ ⎞⎛ ⎞
  ⎜⎜ a1 ⎟⎟ ⎜⎜ b1 ⎟⎟
a ⋅b = ⎜a2 ⎟⎟ ⋅⎜b2 ⎟⎟ = a1b1 + a2 b2 + a3 b3
⎜⎜a ⎟⎟ ⎜⎜b ⎟⎟
⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
Das Ergebnis des
Skalarproduktes
zweier Vektoren ist ein
Skalar (eine Zahl).
Satz Kosinusformel ( Winkel zwischen zwei Vektoren)
 
⎛ a ⋅b ⎞⎟
a ⋅b
⎜
cosγ =   ⇔ γ = arccos⎜⎜   ⎟⎟⎟
⎜⎝ | a | ⋅| b | ⎟⎠
| a | ⋅| b |
Rechenregeln
Beweise die folgenden Rechenregeln für das Skalarprodukt.
a)
b)
c)
d)
© Lippert Sonntag, 16. Mai 2010
e)
f)
g)

 
| a |2 = a ⋅a
   
a ⋅b = b ⋅a
 
 
(ra) ⋅b = r (a ⋅b)
      
(a + b) ⋅c = a ⋅c + b ⋅c
2  
 
a = a ⋅a > 0 für a ≠ 0
2  
 
a = a ⋅a = 0 für a = 0

 
bzw. | a |= a ⋅a
Kommutativgesetz
Beweise indem du die
Definition und Sätze
des Skalarproduktes
anwendest.
mit r ∈ 
Distributivgesetz
Warum gibt es beim Skalarprodukt kein neutrales Element?
Übung 8 bis Übung 11 im Buch auf Seite 257
Das Skalarprodukt nicht verwechseln mit der
Skalarmultiplikation, bei der ein Vektor mit
einem Skalar (einer Zahl) multipliziert wird.
Das neutrale Element
der Multiplikation ist
die 1, denn: a ⋅1= a ,
das der Addition ist
die 0, denn: a + 0 = a
⎛ a1 ⎞⎟ ⎛ sa1 ⎞⎟

⎜
⎜
s ⋅a = s ⋅⎜⎜a2 ⎟⎟⎟ = ⎜⎜sa2 ⎟⎟⎟ s ∈ 
⎜⎜a ⎟⎟ ⎜⎜sa ⎟⎟
⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
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Lö

| a |2 =
2
 
a12 + a22 = a12 + a22 = a12 + a22 = a1a1 + a2 a2 = a ⋅a q.e.d.
 

Quadrate
sind stets ≥0
b)
Satz der
Koordinatenform
 


a ⋅a = | a |2 =| a |
 
 
a ⋅b = a1b1 + a2 b2 = b1a1 + b2 a2 = b ⋅a q.e.d.
 
Definition des
Skalarproduktes
c)
ng
a)
su
Beweise
Kommutativgesetz
der Multiplikation
Koordinatenform
Skalarprodukt
⎛ ⎞⎛ ⎞



  ⎜⎜ ra1 ⎟⎟ ⎜⎜ b1 ⎟⎟
 
(ra) ⋅b = ⎜⎜ra2 ⎟⎟ ⋅⎜⎜b2 ⎟⎟ = ra1b1 + ra2 b2 + ra3b3 = r(
a1b1 + a2 b2 + a3 b3 ) = r (a ⋅b) q.e.d.

⎜⎝ra3 ⎟⎟⎠ ⎜⎝b3 ⎟⎟⎠
Distributivgesetz
„r ausklammern“
d)
⎛
⎞⎛ ⎞
   ⎜⎜ a1 + b1 ⎟⎟ ⎜⎜ c1 ⎟⎟
(a + b) ⋅c = ⎜⎜a2 + b2 ⎟⎟⎟ ⋅⎜⎜c2 ⎟⎟⎟ = (a1 + b1 )c1 + (a2 + b2 )c2 + (a3 + b3 )c3
⎜⎝ a3 + b3 ⎟⎠ ⎜⎝c3 ⎟⎠
= (a1c1 + b1c1 ) + (a2 c2 + b2 c2 ) + (a3 c3 + b3 c3 )

Distributivgesetz, „cn hineinmultiplizieren“
   
= (a1c1 + a2 c2 + a3 c3 ) + (b1c1 + b2 c2 + b3 c3 ) = a⋅c
+ b ⋅c

 q.e.d

 aus Koordinatenform
Kommutativgesetz der Addition: „umsortieren“
e)
2  
a = a ⋅a = a12 + a22 Jede Zahl≠0 im Quadrat ist positiv
Die Summe zweier positiver Zahlen ist > 0 q.e.d.
 ⎛⎜0⎞⎟⎟
2
a = 0 ⋅0 + 0 ⋅0 = 0, weil 0 = ⎜⎜0⎟⎟ q.e.d.
⎜⎜⎝0⎟⎠
f)
Das neutrale Element einer Rechenoperation verändert nichts, wie zum Beispiel:
1
1
⋅1=
17
17
a + 0 = a;123 + 0 =123
© Lippert Sonntag, 16. Mai 2010
a ⋅1= a; 34 ⋅1= 34;
1 ist neutrales Element der Multiplikation,
0 ist neutrales Element der Addtion.
Das hieße aus einem Vektor müsste wieder der gleiche Vektor hervorgehen. Dies ist trivialerweise unmöglich, da das Ergebnis des Skalarproduktes kein Vektor mehr ist, sondern eine Zahl. Es
kann kein neutrales Element geben.
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Lö
=0+0+0=0
Skalarprodukt
 
a ⋅b = 0 +1+ 0 =1
ng
 
b
⋅c
su
Ü8
 ⎛⎜⎜0⎞⎟⎟  ⎛⎜⎜0⎞⎟⎟  ⎛⎜⎜ 1⎞⎟⎟
a := ⎜ 1⎟⎟ ; b := ⎜ 1⎟⎟ ; c := ⎜0⎟⎟
⎜⎜⎝0⎟⎠
⎜⎜⎝ 1⎟⎠
⎜⎜⎝0⎟⎠
⎛0⎞⎟
⎜
= ⎜⎜0⎟⎟⎟
⎜⎜⎝0⎟⎠
Skalarmultiplikation
 ⎛⎜⎜ 1⎞⎟⎟ ⎛⎜⎜0⎞⎟⎟
1⋅c = ⎜0⎟⎟ ≠ ⎜0⎟⎟ Widerspruch.
⎜⎜⎝0⎟⎠ ⎜⎜⎝0⎟⎠

a
⋅0
2
⎛
⎞ ⎛
⎞⎛
⎞
  2 ⎜ a1 + b1 ⎟ ⎜ a1 + b1 ⎟ ⎜ a1 + b1 ⎟
Ü9a) (a + b) = ⎜⎜a2 + b2 ⎟⎟⎟ = ⎜⎜a2 + b2 ⎟⎟⎟ ⋅⎜⎜a2 + b2 ⎟⎟⎟
⎜⎜ a + b ⎟⎟ ⎜⎜ a + b ⎟⎟ ⎜⎜ a + b ⎟⎟
⎝ 3
⎝
3⎠
3
3⎠ ⎝ 3
3⎠

Skalarprodukt
= (a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) + (a3 + b3 )

2
2
2
Koordniantenform Skalarprodukt
= a + 2a1b1 + b12 + a22 + 2a2 b2 + b22 + a32 + 2a3 b3 + b32

2
1
ausmultiplizieren mit binomischer Formel
= a + a2 + a3 + 2a1b1 + 2a2 b2 + 2a3 b3 + b12 + b22 + b32

2
1
2
2
Kommutativgesetz der Addition: umsortieren
= a12 + a22 + a32 + 2(a1b1 + a2 b2 + a3 b3 ) + b12 + b22 + b32

Distributivgesetz: 2 ausklammern
2
  2
= a
+ 2a ⋅b + b
q.e.d.
© Lippert Sonntag, 16. Mai 2010
Koordinatenform Skalarprodukt
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