9. Pr¨asenz¨ubung zur Linearen Algebra 2

Julia Sauter
SS 09
9. Präsenzübung zur Linearen Algebra 2
Es sei immer (V, h−|−i) ein K-Vektorraum mit einem Skalarprodukt, das heißt entweder ist K =
R, (−) = idR und wir nennen (V, h−|−i) euklidischen Raum oder K = C, (−) = komplexe Konjugation
und wir nennen (V, h−|−i) unitären Raum 1 . Dazu gibt es eine Längen- oder Normfunktion
»
k−k : V → R≥0 , v 7→ kvk := + hv|vi
und für K = R eine Winkelfunktion
] : V × V → [0, π], (v, w) 7→ ](v, w) := α
⇐⇒
cos(α) =
hv, wi
kvkkwk
Wir setzen voraus: dimK V = n < ∞.
Aufgabe 1:
Wir betrachten den euklidischen Raum (R2 , (−, −)), wobei (−, −) das Standardskalarprodukt auf R2
bezeichnet.
a) Erklären Sie für (R2 , (, )) mit Hilfe des Satzes von Pytagoras: kvk = Länge der Strecke zwischen 0 und v.
b) Erklären Sie für (R2 , (, )) und v, w ∈ R2 mit kvk = kwk = 1, dass 0, v, (v, w)w Eckpunkte
eines rechtwinkligen Dreiecks sind. Begründen Sie, dass für ](v, w) ∈ [0, π2 ) in diesem Dreieck
Ankathete
gilt.
cos(](v, w)) = Hypothenuse
Aufgabe 2:
a) Zeigen Sie in (i) die Äquivalenz, gilt sie noch falls K = C ist? Welche Abbildungen in (ii),(iii)
definieren Skalarprodukte?
(i) (−, −) : R × R → R, Skalarprodukt ⇐⇒ ∃α ∈ R>0 : (x, y) = αxy
(ii) C × C → R, (z, z 0 ) 7→ Im(zz 0 )
(iii) R[T ] × R[T ] → R, (
P
i≥0
ai T i ,
i≥0 bi T
P
i
) 7→
P
i≥0
ai b i
b) Machen Sie sich klar: Es seien (−, −), h−|−i zwei (K-)Skalarprodukte auf V , λ ∈ R≥0 , dann
sind (−, −) + λh−|−i und für λ > 0 : λh−|−i wieder Skalarprodukte.
1
In der Literatur wird häufig dim V < ∞ für euklidischer oder unitärer Vektorraum verlangt, in dieser Vorlesung
nicht.
Aufgabe 3:
a) Es sei (V, h−|−i) ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt, (v1 , . . . , vn ) eine Basis. Zeigen Sie:
Ist (−, −) ein Skalarprodukt auf V mit (vi , vj ) = hvi |vj i für alle i, j, so ist (−, −) = h−|−i.
(Hinweis: Sie brauchen nur die Sesquilinearität (von h−|−i und (−, −)), d.h.: ∀v, v1 , v2 ∈
V, λ ∈ K : hv1 + λv2 |vi = hv1 |vi + λhv2 |vi und hv|v1 + λv2 i = hv|v1 i + λhv|v2 i )
b) K = R: Müssen zwei Skalarprodukte, die diegleiche Längenfunktion definieren schon gleich
sein?
Hinweis: Schreiben Sie hv + w|v + wi = ... hin.2
c) Müssen zwei Skalarprodukte, die diegleiche Längenfunktion auf einer Basis definieren schon
gleich sein?
Hinweis: Schauen Sie sich den 1-dimensionalen Fall an.
Aufgabe 4:
Ç
å
2 −1
Es sei A =
∈ M (2; R). Dann definiert (−, −)A : R2 × R2 → R, (x, y) 7→ txAy ein Ska−1 1
larprodukt. Berechnen Sie für die Standarbasis alle Längen und Winkel bezüglich h−, −iA . Stimmt
das noch mit Ihrer Intuition von R2 überein? (Fortsetzung in A6))
Aufgabe 5:
Warum sind ONB (unter anderem) praktisch zu kennen?
Es sei (V, h−|−i) ein Vektorraum mit Skalarprodukt und {v1 , . . . , vn } eine ONB von V (d.h. hvi |vj i =
δij für alle i, j). Zeigen Sie: Für alle v ∈ V gilt
v=
n
X
hv|vi ivi .
i=1
»P
n
2
Falls k−k die zum Skalarprodukt zugehörige Norm ist, so gilt kvk =
i=1 |hv|vi i| .
Falls nun K = R und v, w ∈ V mit kvk = kwk = 1 und ](−, −) die Winkelfunktion des Skalarproduktes ist, so gilt
](v, w) = α ⇐⇒ cos(α) =
n
X
hv|vi ihw|vi i
i=1
Aufgabe 6:(Fortsetzung von A4))
1. Berechnen Sie b1 = ke1 k−1
A e1 , b2 =
e2 −he2 |b1 iA b1
.
ke2 −he2 |b1 iA b1 kA
2. Es sei P = (b1 , b2 ), übelegen Sie sich: tP AP = E2 . Folgern Sie, dass b1 , b2 eine ONB für
(R2 , h−|−iA ) ist.
2
Analog sieht man für K = C: Zwei Skalarprodukte, die diegleiche Längenfunktion besitzen, haben den gleichen
Realteil, müssen aber nicht gleich sein.
3. Stellen Sie e1 , e2 als LK von b1 , b2 dar, etwa e1 = a11 b1 + a21 b2 , e2 = a12 b1 + a22 b2 .
(Sie können P −1 = (aij ) oder A5) benutzen).
Ç
å Ç
å
a
a
4. Folgern Sie: hei |ej iA = ( 1i , 1j ), wobei (−, −) das Standardskalarprodukt ist.
a2i
a2j
Ç
å
a
Wenn wir also ei mit 1i identifizieren stimmt die Intuition (bzgl. Längen+Winkel vom Standardsa2i
kalarprodukt) wieder.
Aufgabe 7:
Es sei (V, h−|−i) ein Vektorraum mit Skalarprodukt und {v1 , . . . , vn } eine ONB von V , 1 ≤ r < n,
U := span{v1 , . . . , vr }. Zeigen Sie:
U ⊥ = span{vr+1 , . . . , vn }.