Skalarprodukt und Norm
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Lineare Algebra und Analytische Geometrie I ♦ Prof. Dr. Peter Benner ♦ WS06/07
Skalarprodukt und Norm
Sei K ∈ {R, C} und V K-Vektorraum.
Skalarprodukt
Abbildung h . , . i : V × V → K, die folgende Eigenschaften
hat:
(S1)
∀w ∈ V ist h . , wi : V → K lineare Abbildung, d.h.,
hαv1+βv2, wi = αhv1, wi+βhv2, wi ∀v1, v2 ∈ V, α, β ∈ K.
(S2) (Symmetrie)
hv, wi = hw, vi
∀v, w ∈ V.
(S3) (positive Definitheit)
hv, vi ≥ 0 ∀v ∈ V
und
hv, vi = 0 ⇔ v = 0.
Eigenschaften:
• hv, vi = hv, vi
=⇒
hv, vi ∈ R.
• ∀v ∈ V gilt:
hv, αw1+βw2i = αhv, w1i+βhv, w2i ∀w1, w2 ∈ V, α, β ∈ K.
• R- bzw. C-Vektorraum mit Skalarprodukt heißt Euklidischer bzw. unitärer Raum.
Lineare Algebra und Analytische Geometrie I ♦ Prof. Dr. Peter Benner ♦ WS06/07
Norm
Abbildung k . k : V → R, so daß ∀v, w ∈ V , λ ∈ K gilt:
(N1)
kvk = 0 ⇔ v = 0.
(N2)
kλvk = |λ| kvk.
(N3) (Dreiecksungleichung) kv + wk ≤ kvk + kwk.
K-Vektorraum mit Norm heißt normierter Raum.
Eigenschaften:
(N4)
kvk ≥ 0 ∀ v ∈ V .
Induzierte Norm:
p
Für jedes Skalarprodukt definiert kvk = hv, vi eine Norm
auf V .
Cauchy-Schwarz-Ungleichung:
|hv, wi|2 ≤ hv, vi hw, wi
bzw. für induzierte Norm
|hv, wi| ≤ kvk kwk.
Winkel zwischen v, w ∈ V \ {0} (k . k =induzierte Norm):
ϕ(v, w) = arccos
hv, wi
.
kvk kwk
