Negativ-Impedanz-Konverter

Negativ-Impedanz-Konverter
Schaltung mit OPV:
I1
R
R
U1
I2
U2
Das mathematische Modell des OPV lautet: U a = v (U + − U − ),
Damit lässt sich die Schaltung wie folgt darstellen:
I1
R
U1
R
I2
v(U1-U2) U2
Für die Z-Matrix gilt unter Beachtung des Pfeilsystems:
I + = 0, I − = 0
Z11 =
U1
I1
I2 =0
U1 = I1 R + U 2 U 2 =
U1 = I1 R +
v
U1
1+ v
v
U1
1+ v
U1 −
v
U1 = I 1 R
1+ v
v 

U1 1 −
= I1 R
 1 + v 
 1 
U1 
= I1R
 1 + v 
U1 = I1R(1 + v )
Z11 = R(1 + v )
Z 22 =
U2
I2
U1 = vU1 − vU 2
U1 =
v
U2
1− v
U2 =
(v − 1)
U1
v
I1 =0
U 2 = U1 − I 2 R =
U 2 = I 2 R(1 − v )
v
U2 − I2R
1− v
Z 22 = R(1 − v )
Z12 =
U1
I2
U1 = vU1 − vU 2
I1 = 0
U1 = U 2 − I 2 R =
(v − 1)
U1 − I 2 R
v
U1 = − vI 2 R
Z12 = −vR
Z 21 =
U2
I1
U 2 = vU1 − vU 2
I 2 =0
U 2 = U1 − I 1 R =
( v + 1)
U 2 − I1 R
v
U1 =
( v + 1)
U2
v
U 2 = vI1R
Z 21 = vR
− vR 
 R(1 + v )
Z =
R(1 − v ) 
 vR
v→∞
 ∞ −∞ 
Z =

 ∞ −∞ 
Die A-Matrix ergibt sich:
U1 = A11U 2 − A12 I 2
I1 = A21U 2 − A22 I 2
mit
U 2 = R2 I 2
U1 = A11R2 I 2 − A12 I 2
I1 = A21R2 I 2 − A22 I 2
U1
I1
und
Re =
Re =
A11R2 − A12
A21R2 − A22
∆Z = Z11Z 22 − Z 21Z12 = R 2 (1 − v 2 ) = R 2 (1 − v 2 ) + R 2v 2 = R 2
1+ v
Z
A11 = 11 =
Z 21
v
A21 =
1
1
=
Z 21 vR
∆Z R 2 R
A12 =
=
=
Z 21 vR v
A22 =
Z 22 R(1 − v ) (1 − v )
=
=
Z 21
vR
v
R 
1 + v
 v
v 
A= 

(1 − v ) 
 1
 vR
v 
für
v→∞
1 0 
A= 

0 −1
Der Eingangswiderstand ergibt sich:
I R R A +I A
R +0
Re = 2 2 a 11 2 11 = a
= − Ra
0 −1
I 2 R2 Ra A21 + I 2 A22
Der NIC transformiert einen positiven Widerstand in einen negativen. Der Strom am Eingang
fließt also in die entgegen gesetzte Richtung!
Alternativ lässt sich die A-Matrix auch über die Definition ausrechnen:
A11 =
U1
U2
vU1 = U 2 + vU 2
I 2 =0
A11 =
1+ v
v
A12 =
U1
I2 U
A12 =
R
v
A21 =
I1
U2
I2 =
vU1
R
I1 =
1 − v vU 2
U1 − vU1 + vU 2
= U1
+
R
R
R
2 =0
I2 =0
mit U1 = U 2
A21 =
1
Rv
A22 =
I1
I2 U
I2 =
2 =0
vU1
R
v +1
v
I1 =
I1 = U 2
(1 − v )(1 + v ) + vU 2
R
R
U1
(1 − v )
R
1− v
v
Wir erhalten die gleichen Ergebnisse wie bei der Z-A-Transformation.
A22 =
An einem weiteren Beispiel soll dieser Effekt noch einmal verdeutlicht werden. Wir haben die
gleiche Schaltung, aber unterschiedliche Widerstände. Am Ausgang sei der Widerstand RL
angeschlossen. Zur Berechnung des Eingangswiderstandes werden nur Maschengleichungen
und die Definitionen der Widerstände verwendet:
I1
Ra
Rb
U1
U1 = U 2
RL =
U2
I2
Re =
U1
I1
I2
U2
RL
(Gegenkopplung des OPV)
(Eingangswiderstand)
U1 = I1Ra + I 2 Rb + U 2 = I1Ra +
U2
Rb + U1
RL
U1
R
= − a RL = Re
I1
Rb
Der Lastwiderstand wird also mit dem Verhältnis −
Ra
an den Eingang transformiert.
Rb
Nutzen:
- Ein negativer Widerstand kann einen positiven Widerstand in Reihenschaltung
kompensieren. Auf diese Weise lassen sich z.B. Schwingkreise entdämpfen.
1
- Der negative Blindwiderstand eines Kondensators − j
wird in einen positiven
ωC
Blindwiderstand transformiert. Auf diese Weise entsteht eine Induktivität mit dem
Frequenzverhalten einer Kapazität.