8. Tutorium - Institut für Mathematik

Technische Universität Berlin
SoSe 2012
Institut für Mathematik
http://www3.math.tu-berlin.de/Vorlesungen/SS12/LinAlg1/
Prof. Dr. O. Holtz, Dr. S. Jokar
Stand: 4. Juni 2012
Lineare Algebra I
8. Tutoriumsvorschläge
Tutoriumsvorschläge
1. Aufgabe
Seien R ein kommutativer Ring mit Eins und
[
]
A11 A12
A=
,
A21 A22
wobei n1 , n2 ∈ N und Aij ∈ Rni ,nj für i, j ∈ {1, 2}.
(i) Zeigen Sie folgendes Lemma
[ ] aus der Vorlesung mit der Leibnizformel:
Ist n1 = 1, also A11 = a11 , so gilt
([
])
a11 A12
det
= a11 det(A22 ).
0 A22
(ii) Zeigen Sie die folgenden Rechenregeln für den Fall, dass R = K sogar ein Körper ist.
(Die Rechenregeln gelten auch über Ringen, sind dort aber schwerer zu beweisen.)
a) Es gilt
([
det
A11 A12
0 A22
])
= det(A11 ) det(A22 ).
b) Ist A11 ∈ GLn1 (R), so gilt det(A) = det(A11 ) det(A22 − A21 A−1
11 A12 ).
(iii) Finden Sie Matrizen A11 , A12 , A21 , A22 ∈ Rn,n , n ≥ 2, mit
])
([
A11 A12
̸= det(A11 ) det(A22 ) − det(A12 ) det(A21 ).
det
A21 A22
2. Aufgabe
Zeigen Sie, dass Ähnlichkeit von Matrizen eine Äquivalenzrelation ist.
1
3. Aufgabe
(i) Bestimmen Sie die charakteristischen Polynome der Matrizen
[
]
[
]
[
]
2 0
4 4
2 1
A=
, B=
, C=
.
0 2
−1 0
0 2
Sind diese Matrizen ähnlich zueinander?
(ii) Bestimmen Sie das

2 0

D= 0 2
−4 0
charakteristische Polynom der Matrix

−1
0
2
und rechnen Sie nach, dass PD (D) = 0 ist.
4. Aufgabe
Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrizen:




0 −1 0
0
1 1 1
1 0
0
0
4,4
4,4

A = 0 1 1 ∈ R3,3 , B = 
0 0 −2 1  ∈ R , C = B ∈ C .
0 0 1
0 0
0 −2
5. Aufgabe
Sei A ∈ Rn,n ⊆ Cn,n und λ ∈ C\R ein Eigenwert von A mit Eigenvektor v ∈ Cn,1 . Zeigen
Sie, dass auch λ ein Eigenwert von A mit Eigenvektor v ist.
2