WS07/08 Nachklausur mit Lösung (Felsner)
Werbung
Technische Universität Berlin
Institut für Mathematik
Prof. Dr. Stefan Felsner
Andrea Hoffkamp
Wintersemester 2007/08
9. April 2008
Lösungsskizzen zur Nachklausur zur Linearen Algebra I
Definitionen
Aufgabe 1 (2+1+1 Punkte)
Definieren Sie die folgenden Begriffe:
a) injektive und surjektive Abbildung (der Begriff ”Abbildung” muss nicht definiert
werden):
Seien X, Y Mengen und f : X → Y eine Abbildung.
f heißt injektiv gdw. für alle x1 , x2 ∈ X gilt: f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 .
f heißt surjektiv gdw. zu jedem y ∈ Y ein x ∈ X existiert mit f (x) = y.
b) Lineare Abbildung:
Seien V, W Vektorräume über einem Körper K. Eine Abbildung f : V → W heißt
lineare Abbildung, falls für alle v, v 0 ∈ V und λ ∈ K gilt:
f (v + v 0 ) = f (v) + f (v 0 ) und f (λv) = λf (v).
c) Kern und Bild einer linearen Abbildung:
Sei f : V → W lineare Abbildung. Dann ist
Kern f = {v ∈ V | f (v) = 0} und Im f = {f (v) | v ∈ V }.
Aufgabe 2 (1+1+1 Punkte)
Seien U, W Unterräume eines endlich dimensionalen K-Vektorraumes V .
a) Wie ist die ”Summe von U und W ” definiert?:
U + W = {u + w | u ∈ U, w ∈ W }.
b) Was bedeutet ”V ist die direkte Summe von U und W ”?
V ist direkte Summe aus U und W , falls V = U + W und U ∩ W = {0}.
c) Geben Sie ein konkretes Beispiel eines Vektorraumes V und zwei Unterräumen
U und W von V an, so dass V die direkte Summe von U und W ist (ohne Begründung!):
V = R2 . U = {(x, 0) | x ∈ R} und W = {(0, y) | y ∈ R}.
Aussagen
Aufgabe 3 (6 Punkte)
Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume der angegebenen Vektorräume?
R3
R3
(a) {(x, y, z) ∈
| x = y = 2z} ⊆
(b) {(x, y) ∈ R2 | x2 = y 4 = 0} ⊆ R2
(c) {(µ + λ, λ2 ) ∈ R2 | µ, λ ∈ R} ⊆ R2
(d) {A ∈ MR (n × n) | A = AT } ⊆ MR (n × n)
ja
N
N
N
nein
N
Sei V ein K-Vektorraum und U, W Unterräume von V . V \U ist die Menge aller Vektoren,
die in V, aber nicht in U liegen (bitte nicht mit dem Quotientenraum verwechseln!).
Kreuzen Sie die korrekten Aussagen an:
(e) V \ U ist Unterraum
von V
Ob V \ U Unterraum
von V ist, ist abhängig von U
(f) U ∪ W ist immer ein
Unterraum von V
N
Es gibt Fälle, in denen U ∪ W
ein Unterraum von V ist
N
V \ U ist nie Unterraum
von V
U ∪ W ist nie Unterraum
von V
Aufgabe 4 (6 Punkte)
Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen wahr oder falsch sind:
Sei A eine 6 × 3-Matrix über R und b ∈ R6 .
(a) Ist rgA =rg(A|b) = 3, so hat das Lineare Gleichungssystem Ax = b
eine eindeutige Lösung.
(b) Das Lineare Gleichungssystem Ax = b ist immer lösbar.
(c) Hat das Lineare Gleichungssystem Ax = b mindestens zwei Lösungen,
so hat es auch unendlich viele weitere Lösungen.
wahr
N
falsch
N
N
Es sei nun A eine n × n-Matrix über einem Körper K und b ∈ K n . Welche der folgenden
Bedingungen ist (oder sind) gleichbedeutend mit der eindeutigen Lösbarkeit von Ax = b:
N
N
(d)
dim Kern A = 0 dim Kern A = n
rgA = n
A sei wiederum eine n × n-Matrix über einem Körper K und b ∈ K n . Sei det A = 0. Dann
ist das Lineare Gleichungssystem Ax = b
N
(e) nur lösbar für b = 0 lösbar für alle b ∈ K n , aber
lösbar nur für manche
nicht unbedingt eindeutig
b ∈ K n , aber nie eindeutig
Aufgaben
Aufgabe 5 (3+3 Punkte)
3
2
Eine lineare Abbildung F : R → R sei definiert durch die Matrix A =
d.h. F (x) = A · x für alle x ∈ R3 .
1 2 1
−1 0 2
,
−1
−1
2
1
0
0
2 ,
0 , 3 ) und B = (
) Basen vom
a) Es seien B = (
,
2
3
3
1
2
R3 bzw. R2 .
Bestimmen Sie MBB0 (F ).
Bilder der Basisvektoren:
−1
6
1
0
5
2 )=
F(
=6·
−3·
7
2
3
3
−1
0
1
0
+1·
F ( 0 ) =
=0·
3
2
3
1
2
10
1
0
−6·
F( 3 ) =
= 10 ·
2
2
3
2
6 0 10
B
Also ist MB0 (F ) =
− 35 1 −6
0
b) Für die Basen
B und B aus (a) sei die lineare Abbildung G gegeben durch
1 −1 1
.
MBB0 (G) =
0
1 1
0
Bestimmen Sie G( 5 ).
6
0
−1
−1
2
Es ist 5 = 1 · 2 + 1 · 0 + 1 · 3 .
6
3
1
2
1
0
1
1 −1 1
1
0
1
= 1·
+2·
=
.
=
· 1
G( 5 ) =
2 B0
0
1 1
2
3
8
1
6
Aufgabe 6 (2+2+2 Punkte)
a) Sei A eine n × n-Matrix über einem Körper K mit der Eigenschaft A2 = En (En
bezeichne die Einheitsmatrix!)
Welche Werte kann det A annehmen? (mit Beweis)
1 = det En = det A2 = (det A)2 , da det multiplikativ ist. Daraus folgt det A = ±1.
r
1
1
b) Für welche r ∈ R sind die Vektoren 1 , r , 1 ∈ R3 linear un1
1
r
abhängig?
r 1 1
Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn det 1 r 1 6= 0 ist.
1 1 r
r 1 1
det 1 r 1 6= 0 = (1 − r)2 (2 + r), also sind die Vektoren unabhängig für alle
1 1 r
r ∈ R \ {1, −2}.
a a4 a7
c) Zeigen Sie: det a2 a5 a8 = 0 für alle a ∈ R.
a3 a6 a9
Verwendet man z.B. die Regel von Sarrus um die Determinante zu berechnen, dann
bekommt man das gewünschte Ergebnis für alle a ∈ R.
Aufgabe 7 (2+1+1+2+1+2 Punkte)
Sei MR (2, 2) der Vektorraum der 2 × 2-Matrizen über R. Definiere die Spur einer Matrix
a11 a12
) = a11 + a22 .
durch Sp(
a21 a22
a) Zeigen Sie, dass Sp eine lineare Abbildung von MR (2, 2) nach R ist.
Es ist
a11 a12
λa11 λa12
a11 a12
) = Sp(
) = λa11 + λa22 = λSp
für
Sp(λ
a21 a22
λa21 λa22
a21 a22
alle λ ∈ R und
a11 a12
b11 b12
a11 + b11 a12 + b12
Sp(
+
) = Sp(
)
a21 a22
b21 b22
a21 + b21 a22 + b22
a11 a12
b11 b12
= a11 +b11 +a22 +b22 = a11 +a22 +b11 +b22 = Sp(
)+Sp(
).
a21 a22
b21 b22
b) Zeigen Sie: Sp(AB) =Sp(BA) für alle A, B ∈ MR (2, 2).
Es ist
2 P
2
2 P
2
P
P
a11 a12
b11 b12
Sp(
·
)=
aij bji =
bij aji =
a21 a22
b21 b22
i=1 j=1
i=1 j=1
b11 b12
a11 a12
= Sp(
·
)
b21 b22
a21 a22
c) Seien A, B ähnliche Matrizen in MR (2, 2). Zeigen Sie, dass dann Sp(A) =Sp(B) gilt.
Sei S invertierbare 2 × 2-Matrix mit A = SBS −1 . Dann ist wegen b) SpA =
Sp(SBS −1 ) = Sp(BS −1 S) = Sp(BE2 ) = Sp(B).
1 0
0 1
0 0
0 0
d) Sei A = {(
,
,
,
)} die kanonische Basis von
0 0
0 0
1 0
0 1
MR (2, 2) und B = {1} Basis von R. Bestimmen Sie MBA (Sp).
Bilder der Basisvektoren:
1 0
Sp(
)=1
0 0
0 1
)=0
Sp(
0 0
0
Sp(
1
0
Sp(
0
0
)=0
0
0
) = 1.
1
Also ist MBA (Sp) = (1 0 0 1).
e) Bestimmen Sie die Dimension von Im Sp und geben Sie eine Basis von Im Sp an.
dim Im Sp = rgMBA (Sp) = 1. Damit ist {1} eine Basis von Im Sp.
f) Bestimmen Sie die Dimension von Kern Sp und geben Sie eine Basis von Kern Sp
an.
Dimensionsformel anwenden ergibt:
4 = dim MR (2, 2) = dim Im Sp + dim Kern Sp. Also ist dim Kern Sp = 3.
0 1
0 0
−1 0
Eine Basis von Kern Sp ist {
,
,
}.
0 0
1 0
0 1
