Lineare Algebra: ¨Ubungsblatt 5 Lösungen

Lineare Algebra: Übungsblatt 5 Lösungen
Verständnisfragen:
1. Wie lauten die allgemeinen Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems?
a11 · x1 + a12 · x2 = b1
a21 · x1 + a22 · x2
¯
¯
¯ b1 a12 ¯
¯
¯
¯ b2 a22 ¯
¯ x2 =
x1 = ¯
¯ a11 a12 ¯
¯
¯
¯ a21 a22 ¯
= b2
¯
¯ a11
¯
¯ a21
¯
¯ a11
¯
¯ a21
¯
b1 ¯¯
b2 ¯
¯
a12 ¯¯
a22 ¯
2. Bezug nehmend auf die allgemeinste Lösung des eben gegebenen LGS, unter welcher Bedingung ist
dieses LGS nicht lösbar?
Das LGS ist nicht lösbar, falls
¯
¯
¯ a11 a12 ¯
¯
¯
¯ a21 a22 ¯ = 0
3. Wie berechnet man die Determinate einer 2 × 2 Matrix?
¯
¯
¯ a11 a12 ¯
¯
¯
¯ a21 a22 ¯ = a11 a22 − a12 a21
4. Unter welchen Bedingungen nimmt eine Determinante den Wert null an?
Eine Determinante nimmt den Wert null an, falls die Spaltenvektoren (oder Zeilenvektoren) der Matrix
linear abhängig sind.
5. Seien zwei Vektoren ~a, ~b ∈ R2 gegeben. Was berechnet
¯
¯ a1 b1
¯
¯ a2 b2
dann die folgende Deterinante ?
¯
¯
¯
¯
Die Determinate berechnet die Fläche des von beiden Vektoren eingeschlossenen parallelogramms, falls
µ
¶
µ
¶
a1
b
1
~b =
~a =
a2
b2
6. Das Wievielfache von det(A) ist durch det(λ · A) gegeben? (λ ∈ R, A ∈ M (n × n; R))
det(λ · A) = λn · det(A)
7. Was ist eine orthogonale Matrix?
Eine Matrix A ∈ M (n × n; R) heißt orthogonal, falls AT = A−1 .
8. Wann ist eine Matrix symmetrisch?
Eine Matrix A ∈ M (n × n; R) heißt symmetrisch, falls AT = A.
9. Wann ist eine Matrix singulär?
Eine Matrix A ∈ M (n × n; R) heißt singulär, falls det(A) = 0.
10. Welchen Wert besitzt die Determinante einer orthogonalen Matrix?
A ∈ M (n × n; R) ; A orthogonal ⇒ det(A) = ±1
1
11. Für welchen Matrizentyp können nur inverse Matrizen existieren?
Nur für quadratische Matrizen können inverse Matrizen bezüglich der Matrizenmultiplikation existieren.
12. Was wären zwei Unterschiede zwischen Gegenmatrizen“ und inversen Matrizen“?
”
”
z.B.:
• Gegenmatrizen gibt es zu jeder Matrix, inverse nur zu quadratischen Matrizen.
• Gegenmatrizen sind die inversen Matrizen bzgl. der Matrizenaddition. Inverse Matrizen bezeichnen die Matrizen bzgl. der Matrizenmultiplikation quadratischer Matrizen.
2
Aufgaben:
1. Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen:
¯
¯
¯
¯ 1
¯
1
1
1 ¯¯
¯ 3
¯
¯
3
−2 ¯
¯ 1 1+a
¯
1
1 ¯¯
1
0, 5 ¯¯ = 0 , (ii) ¯¯
(i) ¯¯ 2
= a · b · (c − 1)
1
1 + b 1 ¯¯
¯ 0, 5 −0, 5 1, 5 ¯
¯ 1
¯ 1
1
1
c ¯
¯
¯
¯ 1 x1 x21 ¯
¯
¯
(iii) ¯¯ 1 x2 x22 ¯¯ = (x3 − x2 )(x3 − x1 )(x2 − x1 )
¯ 1 x3 x2 ¯
3
2. Die mögliche Regel det(A + B) = det(A) + det(B) ist im allgemeinen falsch. Finden Sie ein Beispiel
für diese Aussage und ein Beispiel, welches diese Aussage widerlegt.
µ
pro
det
µ
con.
0 1
0 0
1 0
0 0
det
¶
µ
+ det
¶
µ
+ det
1 0
0 0
0 0
0 1
¶
µ
= det
¶
µ
6= det
1 1
0 0
1 0
0 1
¶
¶
3. Zeigen Sie die Richtigkeit der folgenden Aussage




x 1 1
x
1
1
0 
det  1 x 1  = det  1 − x x − 1
1 1 x
1−x
0
x−1
= x(x − 1)2 + 2(x − 1)2
= (x − 1)2 (x + 2)
4. Berechnen Sie die Fläche des Parallelogramms, welches durch die Punkte A(2/1), B(5/2), C(7/3) und
D(4/2) aufgespannt wird.
¯
¯ 3 2
¯
¯ 1 1
¯
¯
¯=1
¯
5. Lösen Sie die folgenden Aufgaben (soweit möglich) durch das Aufstellen des LGS und anschließender
Anwendung der Cramerschen Regel
(a) Eine zweistellige Zahl ist restlos durch 9 teilbar. Vertauscht man ihre Ziffern, so ergibt sich eine
Zahl, welche um ihre Quersumme größer ist.
x: Einerziffer; y: Zehnerziffer.
I:
II :
x+y
=
9
10x + y
=
10y + x + (x + y)
⇒ x=5; y=4
(b) Zwei Zahlen verhaten sich wie 2 : 3; die Summe ihrer Kehrwerte ist 5.
x: erste Zahl; y: zweite Zahl
3
2
1
1
=
⇒ 3u − 2v = 0 mit u := , v :=
y
x
y
x
1 1
+ =5 ⇒ u+v =5
x y
1
1
⇒ x= ,y=
3
2
I:
II :
3
(c) Die Quadrate zweier natürlicher Zahlen unterscheiden sich um 93. Welches sind die gesuchten
Zahlen?
x: erste Zahl , y: zweite Zahl, mit x > y
i. 1. Fall:
x2 − y 2 = 93 ⇒ (x − y)(x + y) = 1 · 93
⇒
I:
x−y
=
1
II :
x+y
=
93
⇒ x = 47 , y = 46
ii. 2. Fall:
x2 − y 2 = 93 ⇒ (x − y)(x + y) = 3 · 31
⇒
I:
x−y
=
3
II :
x+y
=
31
⇒ x = 17 , y = 14
(d) Luft ist näherungsweise eine Mischung von Sauerstoff und Stickstoff. Unter Normbedingungen
(0◦ C, 1013hPa) haben diese Gase jeweils Dichten von
ρ(O2 ) = 0, 00143
kg
dm3
ρ(N2 ) = 0, 00125
kg
dm3
ρ(Luft) = 0, 00129
kg
dm3
Wie viel kg Sauerstoff und Stickstoff befinden sich unter Normalbedingungen in einem Zimmer
von 5m Länge, 4m Breite und 2,5m Höhe?
Mit x kg Sauerstoff und y kg Stickstoff gilt:
I:
II :
x+y
x
kg
0, 00143 dm
3
+
y
kg
0, 00125 dm
3
=
=
kg
· 50 · 40 · 25 · dm3
dm3
50 · 40 · 25 · dm3
0, 00129
⇒ x = 15, 89kg , y = 48, 61kg
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