Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen
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Wintersemester 2016/17 Prof. C. P. Schnorr Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen Blatt 5, 21.12.2016, Abgabe 11.01.2017 Aufgabe 1. Bestimme zu N ≈ 1020 , L(Bn,c ) für n = 128, p128 = 719 ein p eπ 1/2 möglich kleines c so dass rd(L) ≤ ||bλ11 || 2n für ||b1 || ≤ 2λ1 , bzw. ≤ 4λ1 . Hinweis : rd(L(Bn,c )) = √ λ1 , γn det(L(Bn,c ))1/n Lemma 2 für grosse N , det L(Bn,c )1/n λ1 = (2c ln N + 1)1/2 + o(1) nach √ ≈ ln p128 N 2c/n (1 ± o(1)). Benutze γ128 = 11.48656 Aufgabe 2. Überarbeite den Beweis von Lemma 2 der Arbeit Factoring Integers by CVP Algorithms und zeige dass λ1 ≈ (2c ln N + 1)1/2 + o(1) gilt falls es ein b ∈ L(Bn,c ) gibt mit ||b|| = λ1 und b ∼ (u, v) so dass uv fast quadratfrei ist. 1 Aufgabe 3. Sei B = 0 a1 a21 1+ a1 a2 Hinweis: Bt B = .. . a1 an 0 . . . .. det Bt B = . (n+1)×n n . Zeige . ∈R P 2 1 + a i ··· 1 i=1 · · · an a1 a2 1+ .. . a22 a2 an ··· a1 an ··· .. . a2 an .. . ··· 1 + a2n hat die Eigenvektoren x1 = (a1 , a2 , ..., an )t zum Eigenwert λ1 = 1 + a21 + · · · + a2n und xk = (−ak , 0, .., 0, a1 , 0, ..., 0)t (mit a1 an der k-ten Stelle) zum Eigenwert λk = 1 für k = 2, 3, ..., n. Es gilt Bt B[x1 , ..., xn ] = [λ1 x1 , .., λn xn ], Q det(Bt B) = ni=1 λi (bitte alles prüfen) 6 Punkte pro Aufgabe
