Lineare Algebra I 7. Tutoriumsvorschläge

Technische Universität Berlin
SoSe 2012
Institut für Mathematik
http://www3.math.tu-berlin.de/Vorlesungen/SS12/LinAlg1/
Prof. Dr. O. Holtz, Dr. S. Jokar
Stand: 29. Mai 2012
Lineare Algebra I
7. Tutoriumsvorschläge
Tutoriumsvorschläge
1. Aufgabe
(i) Schreiben Sie das lineare

 x1 + x2 +
x1 + 2x2 −

x1 − x2 +
Gleichungssystem
x3 = 0
x3 = 0
6x3 = 0
über den reellen Zahlen in Matrixform (d.h. als Ax = b).
(ii) Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden linearen Gleichungssysteme an:
a) Ax = b mit


1 1
1
A = 1 2 −1 ∈ R3,3 ,
1 −1 6

1
b = −2 ∈ R3,1 .
3

b) Ax = b mit


1 1
1
0
A = 1 2 −1 −1 ∈ R3,4 ,
1 −1 6
2
c) Ax = b mit


1 1
1
1 2 −1
4,3

A=
1 −1 6  ∈ R ,
1 1
1


1
b = −2 ∈ R3,1 .
3


1
−2
4,1

b=
 3 ∈R .
1
1
d) Ax = b mit


1 1
1
1 2 −1
4,3

A=
1 −1 6  ∈ R ,
1 1
1


1
−2
4,1

b=
 3 ∈R .
0
2. Aufgabe
Sei Sn die Menge aller Permutationen von {1, 2, . . . , n}.
Zur Erinnerung:
∗ Ist σ ∈ Sn und existiert {i1 , . . . , ir } ⊆ {1, 2, . . . , n} mit r Elementen, so dass
σ(ik ) = ik+1 für k = 1, 2, . . . , r − 1,
σ(ir ) = i1 ,
σ(i) = i für i ∈
/ {i1 , . . . , ir },
dann nennen wir σ ein Zykel (genauer ein r-Zykel ) und schreiben σ = (i1 , i2 , . . . , ir ).
∗ Eine Transposition ist ein Zykel mit r = 2, d.h. der Gestalt τ = (i1 , i2 ).
(i) Seien n = 4 und τ1,2 = (1, 2), τ2,3 = (2, 3), τ3,4 = (3, 4) (damit sind τi Transpositionen). Berechnen Sie
a) τ1,2 ◦ τ2,3 ,
−1
b) τ1,2 ◦ τ2,3 ◦ τ1,2
,
c) τ1,2 ◦ τ2,3 ◦ τ3,4 .
(ii) Seien n ≥ 4 und σ = (1, 2, 3, 4). Berechnen Sie
a) σ 2 ,
b) σ 3 ,
c) σ 4 ,
d) σ 5 .
3. Aufgabe
Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen mit der Leibnizformel:


[
]
b11 b12 b13
a b
A=
, B = b21 b22 b23  .
c d
b31 b32 b33
2
4. Aufgabe
Sei R ein kommutativer Ring mit Eins.
(i) Seien A = [aij ], B = [bij ], C = [cij ] ∈ Rn,n . Für ein k ∈ {1, . . . , n} gelte aij = bij = cij
für alle i, j mit i ̸= k, sowie akj = λbkj + µckj für alle j. Zeigen Sie
det(A) = λ det(B) + µ det(C).
Zeigen Sie, dass die analoge Aussage für die Spalten von A gilt.
(ii) Finden Sie Matrizen D, E ∈ Rn,n , n ≥ 2, mit
det(D + E) ̸= det(D) + det(E).
5. Aufgabe
Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen:

1 1


1 2
1 1 1 1

1 2
1 2 2 2

4,4


D=
∈ Z oder allgemein D = 1 2
1 2 3 3

 .. ..
1 2 3 4
. .
1 2


x 1 ... 1
1 x . . . 1


E =  ..
 ∈ Qn,n .
...
.

1 ... 1 x

1
2

3

∈ Zn,n ,
4

.. 
.
3 4 ... n
1
2
3
3
..
.
1
2
3
4
..
.
...
...
...
...
..
.
3