Übungsblatt zu Determinante einer Matrix

Übungsblatt zu Determinante einer Matrix
1)
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks A(1/2), B(2/1), C(3/3) auf zwei verschiedene
Arten.
y
C(3/3)
A(1/2)
B(2/1)
x
2)
Berechne den Rauminhalt des Tetraeders mit den Eckpunkten A(1/0/3), B(-1/2/4),
C(3/-1/2) und D(2/0/-1).
3)
Beweise den folgenden Satz für 2x2 Matrizen:
Vertauscht man zwei Zeilen in einer Matrix, so ändert sich das Vorzeichen der
Determinante.
4)
Beweise den folgenden Satz für 2x2 Matrizen:
Det(A)  Det(B) = Det(A  B)
5)
Beweise den folgenden Satz für 2x2 Matrizen:
Det(A-1) = (Det(A))-1
6)
A sei eine nxn Matrix und C sei eine nxn Matrix, deren Inverse C-1 existiert. Zeige,
dass die Eigenwerte von A und die von C-1AC die gleichen sind., d.h.
Det(A - I) = Det(C-1AC - I).
7)
Beweise:
Det(A) = Det (AT).
8)
Beweise, dass die Eigenwerte von A und AT die gleichen sind, d.h.
Det(A - I) = Det(AT - I).
9)
Beweise oder widerlege, dass eine Matrix, welche eine Rotation um den Winkel 
(0 <  < 2) um den Ursprung beschreibt, keine Eigenvektoren haben kann.
Viel Spass beim Knobeln!!