Mathematische Methoden der Physik:¨Ubungsblatt 11

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Institut für Theoretische Physik
PD Dr. Michael Seidl
18.6.2014
Mathematische Methoden der Physik: Übungsblatt 11
Die Aufgaben 1 bis 4 sind schriftliche Hausaufgaben.
Abgabe: Donnerstag, 26.6., bis 10.15 Uhr (per Einwurf in die Kästen bei der Bibliothek).
Aufgabe 1: Determinanten
Berechnen Sie die Determinanten der Matrizen


3 2 12
5
 2 1 6
4 
1 2

M=
,
A=
 2 0 2 −3  ,
3 4
2 2 7
4



B=


0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0



,


indem Sie diese jeweils auf Dreiecksgestalt bringen.
Sie können dabei u.a. die Linearität der Determinante in jeder ihrer Zeilen ausnutzen:
Multipliziert man eine Zeile mit µ ∈ R, so ver-µ-facht sich der Wert der Determinante.
Aufgabe 2: (2 × 2)-Matrizen
Zeigen Sie, daß die Determinante der allgemeinen (2 × 2)-Matrix A gegeben ist durch
a b
= ad − bc,
det A ≡ det
c d
indem Sie A auf Dreiecksgestalt bringen.
Aufgabe 3: Vier-atomige lineare Kette
Eine lineare Kette aus vier Massen und drei Federn führt auf das Eigenwert-Problem


−1
1
0
0
 1 −2
1
0 
.
Ax = λx,
A=
 0
1 −2
1 
0
0
1 −1
Prüfen Sie durch Einsetzen nach, ob es Werte für den Parameter a ∈ R gibt, sodaß je
einer der folgenden Vektoren ein Eigenvektor von A ist,

 

a
a
 1 
 1 


y=
x=
 1 .
 −1  ,
a
−a
Geben Sie jeweils den zugehörigen Eigenwert λ an.
23
Aufgabe 4: Eigenwerte und Eigenvektoren
Gegeben Sei die (2 × 2)-Matrix
A=
9 3
2 4
.
(a) Berechnen Sie die Determinante (vgl. Aufgabe 2) der Matrix
9−λ
3
Z = A − λI =
2
4−λ
als Funktion des Parameters λ.
(b) Welches sind folglich die Eigenwerte von A?
(c) Bestimmen Sie zu jedem Eigenwert λ je einen Eigenvektor
a
x=
b
durch Lösen des homogenen Gleichungssystems (A − λI)x = 0.
Machen Sie jeweils die Probe, Ax = λx.
Aufgabe 5: Matrizengruppe
Zeigen Sie, daß die Menge M0 aller reellen (2 × 2)-Matrizen A = (ac bd ) mit det A = 0
bezüglich der Matrizenmultiplikation eine nicht-abelsche Gruppe bilden.
Aufgabe 6: Vektorräume
(a) Bildet die Menge R2 , zusammen mit der üblichen Vektoraddition in R2 und der
unüblichen skalaren Multiplikation (λ ∈ R)
x
x
,
:=
λ
λy
y
einen Vektorraum über R ? Begründung !
(b) Bildet die Menge C der komplexen Zahlen einen Vektorraum über dem Körper R
der reellen Zahlen, wenn man die komplexe Addition als Vektoraddition und die
übliche Multiplikation von z ∈ C mit λ ∈ R,
λz ≡ λ(x + i y) = (λx) + i (λy),
als skalare Multiplikation auffaßt ?
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