Crashkurs Mathematik

Stasys Jukna
Crashkurs Mathematik
fur Informatiker
Teubner
Inhaltsverzeichnis
Schulstoff
I
Mengen, Logik und Kombinatorik
9
1 Grundbegriffe
1.1 Mengen und Relationen
1.2 Graphen
1.3 Abbildungen (Punktionen)
1.4 Kardinalitat unendlicher Mengen
1.5 Aufgaben
10
10
15
19
21
24
3 Logik und Beweismethoden
2.1 Aussagen
2.2 Pradikate und Quantoren
2.3 Logische Beweisregeln
2.4 Induktion: Beweis von Va; P(x)
2.4.1 Das Induktionsprinzip
2.4.2 Das Prinzip des »kleinsten Verbrechers*
2.4.3 Falsche Anwendungen
2.4.4 Richtige Anwendungen
2.5 Induktion und Entwurf von Algorithmen
2.5.1 Turme von Hanoi
2.5.2 Das Rucksackproblem
2.6 Aufgaben
26
26
28
31
32
32
34
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37
40
41
42
44
3 Kombinatorik
3.1 Kombinatorische Abzahlregeln
3.2 Prinzip des doppelten Abzahlens
3.3 Binomialkoeffizienten
3.3.1 Auswahl mit Wiederholungen
3.3.2 Binornischer Lehrsatz
3.4 Das Taubenschlagprinzip: Beweis von 3x P(x)
3.5 Widerspruchsregel und Entwurf von Algorithmen
3.6 Aufgaben
47
47
48
52
54
54
gg
62
64
,
II Algebra und Zahlentheorie
4 Modulare Arithmetik
4.1 Teiibarkeit, Division mit Rest .
67
,
fig
68
x
Inhaltsverzeiclmis
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
Teilerfrernde Zahlen
Rechnen modulo n
Euklid'scher Algorithmus
Primzahlen
Chinesischer Restsatz
Anwendung in der Kryptographie: RSA-Codes*
Anwendung: Schneller Gleichheitstest*
Aufgaben
5 Algebraische Strukturen.
5.1 Gruppen
5.2 Morphismen: Vergleich der algebraischen Strukturen
5.3 Ringe und Korper
5.4 Polynome
5.4.1 Modulo-Rechnung fur Polynome
5.5 Komplexe Zahlen: Rechnen in der Zahlenebene
5.5.1 Anwendung: Schnelle Fourier Transformation*
5.6 Lineare Raume
5.6.1 Basis und Dimension
5.6.2 Lineare Abbildungen
5.6.3 Koordinaten
5.6.4 Unterraume
5.7 Aufgaben
III Lineare Algebra
7°
73
76
78
82
84
87
88
90
90
97
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102
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121
123
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127
6 Vektorkalkul
6.1 Das Matrix-Vektor Produkt
6.2 Rang der Matrizen
6.3 Homogene Gleichungssysteme
6.3.1 Anwendung: Zerlegung in bipartiten Cliquen*
6.4 Das Losen von Gleichungssystemen
6.4.1 Das Gaufi-Verfahren
6.5 Geometrie des Skalarprodukts
6.6 Die Lineare-Algebra-Methode
6.7 Orthogonalraume
6.7.1 Anwendung: Pehlerkorrigierende Codes*
6.8 Orthogonale Projektionen
6.9 Orthonormalbasen
6.10 Aufgaben
128
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131
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141
144
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151
153
155
7 Matrizenkalkiil
7.1 Matrizenprodukt
7.2 Matrizenprodukt und Rang
7.3 Matrizendivision: Inverse Matrizen
7.3.1 Unitare Matrizen
157
157
161
163
164
Inhaltsverzeicknis
7.3.2 Hadamardmatrizen*
7.3.3 Elementarmatrizen
7.3.4 Bestimmung der Inversen
7.3.5 Matrizenprodukt und Basiswechsel*
7.4 Die Determinante
7.4.1 Determinante und Elementartransformationen
7.4.2 Das Matrizenprodukt und die Determinante
7.4.3 Explizite Darstellung der Determinante
7.5 Eigenwerte und Eigenvektoren
7.5.1 Eigenwerte und Diagonalisierung
7.5.2 Eigenwerte, die Spur und die Determinante
7.6 Aufgaben
IV Analysis
XI
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185
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194
8 Folgen und Rekursionsgleichungen
8.1 Endliche Summen (Reihen)
8.1.1 Arithmetische Reihe
8.1.2 Geometrische Reihe
8.1.3 Harmonische Reihe
8.2 Rekursionsgleichungen
8.2.1 Homogene Rekursionsgleichungen
8.2.2 Nicht-homogene Rekursionsgleichungen
8.3 Aufgaben
ig5
196
196
197
199
200
201
207
208
9 Konvergenz von Zahlenfolgen
9.1 Unendliche Folgen
9.1.1 Konvergenzkriterien fur Folgen
9.2 Unendliche Summen (Reihen)
9.2.1 Geometrische Reihe - die »Mutter aller Reihen«
9.2.2 Allgemeine harmonische Reihen
9.2.3 Konvergenzkriterien fur Reihen
9.3 Aufgaben
2x0
210
215
2ig
220
221
223
228
10 Differenzialrechnung
10.1 Grenzwerte bei Funktionen
10.2 Ableitungen
10.3 Mittelwertsatze der Differenzialrechnung
10.4 Approximation durch Polynome: Taylorentwickhing
10.5 Die Regeln von Bernoulli-l'Hospital
10.6 Wachsturnsvergleich: Klein-o und grofi-O
10.6.1 Das Master Theorem
10.7 Differenzialgleichungen
10.8 Integrate
10.9 Aufgaben
230
230
234
240
244
247
250
252
255
256
260
XII
Inhaltsverzeichnis
V Diskrete Stochastik
262
x i Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten
11.1 Der Begriff der Wahrscheinlichkeit
11.2 Stochastische Unabhangigkeit
11.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit
11.4 Aufgaben
263
263
270
272
277
X2 Zufallsvariablen
12.1 Erwartungswert und Varianz
12.1.1 Analytische Berechnung von E(X) und Var (X)
12.2 Drei wichtige Zufallsvariablen
12.3 Abweichung vom Erwartungswert
12.3.1 Markov-Ungleichung
12.3.2 Tschebyschev-Ungleichung
12.3.3 Chemoff-Ungleichungen
12.4 Die probabilistische Methode
12.5 Aufgaben
280
282
290
291
293
293
295
298
304
307
Weiterfuhrende Literatur
310
Stichwortverzeichnis
311