Übungen zur Vorlesung Geometrische lineare Algebra

WWU Münster, Fachbereich 10
Prof. Dr. Urs Hartl
Anna Weiÿ
WS 2014/2015
Übungsblatt 7
Übungen zur Vorlesung Geometrische lineare Algebra
Abgabetermin: Donnerstag, 27.11.2014, 14 Uhr
1. Sei K ein Körper. K [X] bezeichne den Polynomring über K in der Variablen X , Abb(K, K)
sei die Menge der Abbildungen K → K . Sei
φ : K[X] → Abb(K, K)
die Abbildung, die jedem Polynom f ∈ K[X] die zugehörige Polynomfunktion f ∈ Abb(K, K)
zuordnet. Zeigen Sie, dass φ nicht injektiv ist, falls K endlich ist.
(2 Punkte)
2. Zwei Matrizen A, B ∈ K heiÿen ähnlich, falls eine invertierbare Matrix S ∈ GL (K)
existiert mit SAS = B. Seien nun A und B ähnliche Matrizen. Zeigen Sie:
(a) Ähnliche Matrizen besitzen dieselben Eigenwerte.
(b) A ist genau dann diagonalisierbar, wenn dies für B gilt.
(2 Punkte)
n×n
n
−1
3. (Euklidischer Algorithmus)
(a) Es seien f und f zwei ganze Zahlen mit f
für i ≥ 3 rekursiv per Division mit Rest
1
2
1
. Dann berechnen wir f und q
≥ f2 > 0
i
i
0 ≤ fi < fi−1
fi−2 = qi fi−1 + fi ,
Zeigen Sie, dass es ein m ∈ N gibt mit f = 0 6= f und dass f der gröÿte
gemeinsame Teiler von f und f ist. Zeigen Sie ferner: Setzt man g = 1 = h und
g = 0 = h und g := g
−q g
und h := h − q h , so gilt f = f g + f h
für alle i und insbesondere f = ggT (f , f ) = f g + f h .
Berechnen Sie mit Hilfe des Algorithmus den gröÿten gemeinsamen Teiler von f = 124
und f = 52 und die Zahlen g und h . Legen Sie dazu eine Tabelle an der Form
m+1
1
2
1
i
m
m
2
i−2
1
i i−1
i
m
1
i−2
2
i i−1
1 m
2
i
1 i
2 i
2 m
1
2
m
i
1
2
3
m
fi−2 fi−1
f
1
f1
f2
fi qi gi hi
f1
1
0
f2
0
1
... ... ... ...
(b) Analog können wir den Algorithmus für zwei Polynome f und f ∈ K[X] mit
Grad(f ) ≥ Grad(f ) ≥ 0 denieren. Dabei ndet man in jedem Schritt Polynome
f , q ∈ K[X] mit Grad(f ) < Grad(f ).
Berechnen Sie mit Hilfe des Algorithmus den gröÿten gemeinsamen Teiler von f =
X +X −2 und f = X −X und Polynome g und h mit ggT (f , f ) = f g +f h .
(8 Punkte)
1
1
i
2
2
i
i
i−1
1
4
2
3
m
m
1
2
1 m
2 m
4. Welche Zusammenhänge, Details, Inhalte oder Fragen sollen in der nächsten Übung besprochen werden?
(2 Punkte)