Bemerkungen zum Euklidischen Algorithmus

Bemerkungen zum Euklidischen Algorithmus
Der Euklidische Algorithmus dient zum Bestimmen des größten gemeinsamen Teilers zweier (natürlicher/ganzer) Zahlen. Er lässt sich wortwörtlich auch auf Polynome anwenden.
Sei K = R oder = C und sei mit K[x] die Menge der Polynome in der Unbestimmten x
bezeichnet. Aus der Schule ist bekannt, dass man wie folgt mit Rest dividieren kann:
Seien f1 , f2 ∈ K[x] mit gradf2 < gradf1 . Dann existiert ein Polynom q1 , so dass f1 =
q1 f2 + f3 mit q1 , f3 ∈ K[x] und grad f3 < grad f2 .
Der Euklidische Algorithmus ist nun folgende Sequenz von Divisionen mit Rest:
f1 = q1 · f2 + f3 ,
grad f3 < grad f2
f2 = q2 · f3 + f4 ,
grad f4 < grad f3
......
fk = qk · fk+1 + fk+2 ,
grad fk+2 < grad fk+1
......
fn−2 = qn−2 · fn−1 + fn
fn−1 = qn−1 · fn + 0,
grad fn < grad fn−1
da die Grade abnehmen.
Wir benutzen die Bezeichnung f |g für f teilt g“, d.h. wenn g = q · f mit f, g, q ∈ K[x].
”
Satz: Seien f1 , f2 , d := fn wie im Euklidischen Algorithmus beschrieben. Dann gilt:
i) d|f1 , d|f2 .
ii) Wenn g|f1 und g|f2 , dann g|d; m.a.W. d ist der größte gemeinsame Teiler (ggT) von
f1 , f2 .
iii) Es existieren p, q ∈ K[x] mit d = p · f1 + q · f2 .
Beweis:
i) Man steige im Algorithmus auf: d = fn teilt fn und fn−1 . Damit teilt d auch fn−2 usw.
bis: d teilt f1 , f2 .
ii) Man steige im Algorithmus ab: g|f1 , g|f2 =⇒ g|f3 usw. bis g|fn = d.
iii) Man steige im Algorithmus ab:
f3 = f1 − q1 · f2 =⇒ f4 = f2 − q2 · f3 = f2 − q2 (f1 − q1 · f2 ) usw. bis man schließlich erhält:
d = fn = p · f1 + q · f2 mit geeigneten p, q ∈ K[x].