4 Sei die Abbildung 1) Bestimmen Sie, bei welchen Punkten lokal

Sei die Abbildung
Aufgabe 11.3:
, , , , 1) Bestimmen Sie, bei welchen Punkten lokal invertierbar ist.
2) Berechnen Sie 1, 0, 1, wobei das lokale Inverse von bei 1, 0, 1 bezeichnet.
Lösung:
1) Es ist mit , , , , . Die Kurve , , ist auf ganz nach
dem Permanenzsatz (Zusammensetzung stetig differenzierbar Funktionen) ebenfalls stetig differenzierbar und besitzt
die Jacobi Determinante:
, , , , , , 1
, , , , , , ! det , , , , , , , , 1
1
!
Um diese Determinante zu berechnen, verwenden wir die Regel von Sarrus:
Erinnerung an die Lineare Algebra 2:
#
!# #
1
#
det "# #
#
#
#
1
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#
#
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# $ # # # # # # # # # # # # # # # # # #
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# ! # # #
1
1
det , , !
1
1
#
#
#
1
1
! · · · Nun soll det , , & 0 nach dem Satz über die Umkehrabbildungen sein, das heißt in unserem Fall:
Wir wollen also zuerst berechnen, wann die Determinante der Jacobi Matrix Null ergibt und diese Werte dann
ausschließen:
0 · · · // Grundumformungen nach dem Distributivgesetz
' 0 ' 0 ² ² ² ² ² ² 1
//Finden der Lösungen durch geschicktes „Raten“:
4
' 0
Oder:
' 0 und z
Oder:
' 0 und y
Oder:
' 0 und y
// 1. Lösung
- beliebig
- beliebig
- beliebig
// 2. Lösung
// 3. Lösung
// 4. Lösung
Umschreiben von (1):
0 2
Damit können wir noch allgemeinere Lösungen angeben:
Die Gleichung in (2) ist genau dann erfüllt, wenn oder oder gilt.
// 5. Lösung
Für die weiteren Berechnungen ist ausschließlich Lösungsansatz Nr. 5. relevant.
Damit det , , & 0 erfüllt ist, muss also & und & und & gelten. Fasst man dies zusammen, erhalten
wir die notwendige Bedingung & & . Darin sind dann auch unsere vorgegangenen Lösungen (1) bis (4)
enthalten.
Fazit: , , ist lokal invertierbar in allen Punkten 4 , , mit , , - und & & .
Es gilt: 1, 0, 2 1, 2, 0
Wir prüfen noch einmal nach, dass die Determinante der Jacobi Matrix nicht Null ist. (Eigentlich könnten wir
aufgrund unseres Fazits in Teil 2 darauf verzichten.)
1
1 1
det 1, 0, 2 !2 1 1! 4 2 4 2 6 & 0
0 2 0
2)
1
1 1
2 1 1
0 2 0
1 1
2 1
0 2
Es gilt 1, 0, 1 7 1, 0, 1, also brauchen wir nur die invertierte Matrix von 1, 0, 1 zu
1 1 1
1, 0, 1 "1 0 1$
0 1 0
bestimmen.
1 1 1 1
"81 0 1! 0
0 1 0 0
0 0
1
1 0$ 9 " 8 0
0 1
1
Damit haben wir 1, 0, 1 A0
0
1 1 1
1 2! 1
0 1 1
1
0 0
=2
1 0$ 9 … 9 <0
1
0 1
;2
1B und sind FERTIG.
5
1
2
0
1
2
1
2@
1?
1
2>