1. Pr¨asenz¨ubung zur Linearen Algebra 2

Julia Sauter
SS 09
1. Präsenzübung zur Linearen Algebra 2
Es bezeichne immer: n, m ≥ 1 ganze Zahlen, K einen Körper, R einen Ring, V einen K-Vektorraum.
Aufgabe 1:(Beispiele für Ringe)
Machen Sie sich klar, dass
{0}, Z, M (n; K), M (n; R), K, EndK (V ), K[T ], K n
Beispiele für Ringe sind.
• Welche davon sind K-Algebren?
• Welche sind Integritätsringe?
• Was können Sie zu den Einheitengruppen der Ringe sagen?
Aufgabe 2:(Unterringe)
Welche der angegebenen Teilmengen sind Unterringe?
• {0} ⊂ Z (allgemeiner {0} ⊂ R)
• {Diagonalmatrizen} ⊂ M (n; K)
• für i 6= j: {Wij (λ) = En + λEij | λ ∈ K} ⊂ M (n; K)
• {obereDreiecksmatrizen} ⊂ M (n; K)
• {f ∈ K[T ] | deg f ≤ n} ⊂ K[T ]
• N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
Aufgabe 3:
Es seien R, S zwei Ringe, f : R → S ein Ringhomomorphismus. Zeigen Sie:
a) Bild(f ) := f (R) ist ein Unterring von S.
b) Kern(f ) := f −1 ({0}) ist genau dann ein Unterring von R, wenn S = {0} gilt.
c) f (E(R)) ⊂ E(S)
Aufgabe 4: (Wiederholung aus der Vorlesung:) R Integritätsring mit Quotientenkörper
K. Dann ist M (n; R) ein Unterring von M (n; K). Die Determinante auf M (n; R) ist die Einschränkung
der Determinante auf M (n; K). Hieraus kann man sehr viele der Axiome (Dx) für die Determinante
auf M (n; R) folgern, welche ?!
Wie beweist man die Aussage im Kasten?
R Integritätsring, A ∈ M (n; R). Dann gilt:
A ∈ Gl(n; R) := E(M (n; R)) ⇔ det(A) ∈ E(R)
Aufgabe 5:(Rechnen in M (n; Z) und M (n; K[T ]))
Welche der folgenden Matrizen sind in den angegebenen Matrizenringen invertierbar?
a)
Ç
å
1 4
,
3 2
(2), (−1),
Ö
è Ö
1 0 3
0 −1 0
2 0 1
,
è
1 1 1
1 1 1
1 1 1
Sind Sie in Gl(n; Q) oder Gl(n; Z) für ein n ∈ N?
Falls Sie in Gl(n; Z) liegen, berechnen Sie die inverse Matrix.
b)
Ç
(T 2 ), (−1),
7
1 T −T
0
1
3
å Ç
,
å
T −T
,
1 1
Ö
è
2T
T3 − 1
−T
2
T + T −T − 1
0
0
T 3 − T 2 −T + 1
,
Sind Sie in Gl(n; K(T )) oder Gl(n; K[T ]) für ein n ∈ N?
Falls Sie invertierbar sind, berechnen Sie die inverse Matrix.
c) Sei A ∈ M (2; K). Zeigen Sie:
det(T E2 − A) = T 2 − Sp(A)T + det(A) ∈ K[T ]
(Erinnerung: Sp(A) ist die Summe über die Diagonaleinträge von A.)
Aufgabe 6:
a) Es seien R, S kommutative Ringe. Sei R → S ein Ringhomomorphismus, dann ist die Abbildung
Ä
ä
M (n; R) → M (n; S), (aij )1≤i,j≤n 7→ f (aij ) 1≤ij≤n
ebenfalls ein Ringhomomorphismus.
b) Zeigen Sie für A = (aij (T ))ij ∈ M (n; K[T ]) gilt:
Wenn es ein x ∈ K gibt mit (aij (x))ij ∈ M (n; K) ist nicht invertierbar, so ist A nicht in
Gl(n; K[T ]).
Hinweis: Benutzen Sie Teil a) für den Einsetzungshomomorphismus K[T ] → K, f 7→ f (x) und benutzen Sie die
Tatsache, dass Einheiten unter Ringhomomorphismen auf Einheiten abgebildet werden, vgl. 3c).