Lineare Algebra I

Lineare Algebra I
Prof. Dr. M. Rost
Übungen — Blatt 3 (WS 2010/2011)
Abgabetermin: Donnerstag, 4. November
http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la1
Erinnerungen und Ergänzungen zur Vorlesung:
Im Folgenden werden wieder einige Definitionen und Bemerkungen aus der Vorlesung zusammengefaßt.
Es seien G und G′ Gruppen.
Gruppen-Homomorphismen
Ein Homomorphismus von G nach G′ ist eine Abbildung
f : G → G′
mit
f (gh) = f (g)f (h)
(g, h ∈ G)
Man spricht auch von einem Gruppen-Homomorphismus oder Homomorphismus
von Gruppen. Es gilt
f (eG ) = eG′ ,
f (g −1) = f (g)−1
Die Inklusions-Abbildung U ⊂ G einer Untergruppe ist (offensichtlich!) ein GruppenHomomorphismus.
Gruppen-Isomorphismen
Ist ein Gruppen-Homomorphismus f : G → G′ als Abbildung bijektiv und bezeichnet f −1 : G′ → G die inverse Abbildung, so ist auch f −1 ein GruppenHomomorphismus. In diesem Fall heißt f ein Isomorphismus und die Gruppen
G, G′ heißen isomorph, in Zeichen G ≃ G′ .
Beispiel: Sei N ∈ Z. Die Multiplikation mit N
fN : Z → Z
a 7→ Na
ist ein Homomorphismus der Gruppe (Z, +) in sich. Für N = 1 und N = −1 ist
fN ein Isomorphismus.
2
Produkte von Gruppen
Die Produktmenge
G × G′ = { (g, g ′) | g ∈ G, g ′ ∈ G′ }
ist selbst auf natürliche Weise ein Gruppe mit Produkt
(g, g ′) · (h, h′ ) = (gh, g ′h′ )
Dabei gilt
eG×G′ = (eG , eG′ ),
−1
(g, g ′)−1 = (g −1 , g ′ )
Dies verallgemeinert sich leicht auf mehrere Faktoren: Sind G1 , . . . , Gn Gruppen,
so ist
n
Y
Gi = G1 × · · · × Gn = { (g1, . . . , gn ) | gi ∈ Gi }
i=1
wieder eine Gruppe mit Produkt
(g1 , . . . , gn ) · (h1 , . . . , hn ) = (g1 h1 , . . . , gn hn )
Noch allgemeiner sind hier sogar beliebige Index-Mengen möglich: Es sei I irgendeine Menge und für i ∈ I sei eine Gruppe Gi gegegeben. Dann ist
Y
Gi = { (gi )i∈I | gi ∈ Gi für i ∈ I }
i∈I
eine Gruppe mit Produkt
(gi )i∈I · (hi )i∈I = (gi hi )i∈I
Beispiel: (Aus der Vorlesung) Es ist Cn die Gruppe der Drehungen um die Winkel
2πk/n (siehe Blatt 1). Die Abbildung
f : C2 × C3 7→ C6
f (α, β) = αβ
ist ein Isomorphismus von Gruppen mit der inversen Abbildung
g : C6 7→ C2 × C3
g(γ) = (γ 3 , γ −2 )
3
Erzeugende einer Gruppe
Es sei G eine Gruppe und M ⊂ G eine Teilmenge. Wir betrachten alle Produkte
der Form
a1 a2 · · · an ∈ G
wobei für i = 1, . . . , n der Faktor ai in M oder sein Inverses a−1
in M liegt.
i
Die Anzahl n der Faktoren ist dabei beliebig. Ist n = 0, so handelt es sich um
das “leere Produkt”, worunter man das Einselement versteht.
Die Menge all dieser Produkte wird mit hMi bezeichnet. Sie ist eine Untergruppe
von G: Die Abgeschlossenheit gegenüber Produkten ist offensichtlich, das Einselement kommt als leeres Produkt sowieso vor und das Inverse eines Produktes
ist wegen
−1
−1 −1
(a1 a2 · · · an−1 an )−1 = a−1
n an−1 · · · a2 a1
von der gleichen Form.
hMi heißt die von M (oder auch: die von den Elementen von M) erzeugte Untergruppe.
Man kann hMi auch viel kürzer beschreiben als die kleinste Untergruppe von G,
die M enthält.
Gilt hMi = G, so sagt man, daß die Elemente von M die Gruppe G erzeugen.
Beispiel: (Aus der Vorlesung) Die Gruppe S3 wird erzeugt von den Elementen
τ12 , σ. Sie wird auch erzeugt von den Elementen τ12 , τ23 .
4
Ringe
Eine Ring ist eine Menge R zusammen mit Abbildungen
R×R →R
(a, b) 7→ a + b
(Addition)
(a, b) 7→ ab
(Multiplikation, P rodukt)
Dabei gelten folgende Axiome (für a, b, c ∈ R):
(1) (R, +) ist eine abelsche Gruppe.
(2) Distributivität:
a(b + c) = ab + ac
(b + c)a = ba + ca
(3) Assoziativität der Multiplikation:
(ab)c = a(bc)
(4) Einselement:
Es gibt ein Element e ∈ R mit
ea = a = ae
Ein Ring R heißt kommutativ wenn zusätzlich gilt:
(5) Kommutativität der Multiplikation:
ab = ba
Das neutrale Element bzgl. Addition wird mit 0 (oder auch 0R ) bezeichnet. Es
gilt (zum Beweis siehe Vorlesung):
0R · a = 0R = a · 0R
Das Einselement e wird meist einfach mit 1 (oder auch 1R ) bezeichnet. Wie bei
Gruppen kann man zeigen, daß das Einselement eindeutig ist.
Es wird 0R 6= 1R nicht vorausgesetzt. Ist 0R = 1R , so folgt aus a = 1R · a =
0R · a = 0R , daß der Ring dann nur aus einem einzigem Element besteht, nämlich
0R . In diesem Fall heißt R der Nullring.
Unterringe
Ein Unterring eines Ringes R ist Teilmenge S ⊂ R mit folgenden Eigenschaften:
(1) Für a, b ∈ S gilt a − b ∈ S.
(2) Für a, b ∈ S gilt ab ∈ S.
(3) 1R ∈ S.
5
Ein Unterring ist selbst wieder ein Ring mit 0S = 0R und 1S = 1R . Die Gruppe
(S, +) ist eine Untergruppe von (R, +).
Invertierbare Elemente
Ein Element a ∈ R heißt invertierbar falls ein b ∈ R existiert mit
ab = ba = 1R
Man sagt b ist Inverses (Rechtsinverses und Linksinverses) von a bzgl. der Multiplikation. Wie bei Gruppen (siehe Blatt 2) sieht man, daß das Element b durch
a eindeutig bestimmt ist (falls es existiert) und schreibt dafür a−1 .
!!! Korrektur der Vorlesung: Leichtsinnigerweise habe ich für die Invertierbarkeit
von a nur die Existenz eines Elementes b mit ab = 1R gefordert. Man muß aber
noch zusätzlich ba = 1R fordern. Bei kommutativen Ringen macht dies natürlich
keinen Unterschied.
Die Menge der invertierbaren Elemente eines Ringes R wird mit R× (oft auch
mit R∗ ) bezeichnet:
R× = { a ∈ R | ∃b ∈ R : ab = ba = 1R }
Die Menge R× zusammen mit der Multiplikation bildet (offensichtlich!) eine
Gruppe. Sie heißt die multiplikative Gruppe des Ringes.
Ist S ⊂ R ein Unterring, so ist S × eine Untergruppe von R× .
Körper
Ein Ring in dem jedes von 0 verschiedene Element invertierbar ist heißt Schiefkörper.
Es gilt dann also
R× = R \ {0}
Ist der Ring auch noch kommutativ, so heißt der Ring ein Körper.
Ein Unterring eines Körpers, der selbst ein Körper ist, heißt Unterkörper.
Beispiele: Die Inklusionen
Z⊂Q⊂R⊂C
sind Inklusionen von Unterringen bzw. Unterkörpern. Es gilt
Z× = {1, −1}
Die Ringe Q, R, C sind Körper, es gilt also Q× = Q \ {0} etc.
6
Beispiel: (Aus der Vorlesung) Der Ring der ganzen Gaußschen Zahlen ist der
Unterring der komplexen Zahlen
Z[i] = Z + iZ = { a + ib ∈ C | a, b ∈ Z }
Für die multiplikative Gruppe ergibt sich
Z[i]× = {1, −1, i, −i}
Der Beweis soll hier noch einmal dargestellt werden.
Es sei
u = a + ib ∈ Z[i]
(a, b ∈ Z, u 6= 0)
Der Ring Z[i] ist Unterring von C. Ist also u invertierbar im Unterring, so ist das
Inverse auch das Inverse im Körper C und das ist ja
a − ib
(a + ib)−1 = 2
= α − iβ
a + b2
mit
a
b
α= 2
, β= 2
2
a +b
a + b2
u ist also invertierbar genau dann wenn (a + ib)−1 in Z[i] liegt, d. h. wenn α, β
ganze Zahlen sind. Wegen
1
α2 + β 2 = 2
a + b2
2
2
ist dann auch 1/(a + b ) eine ganze Zahl. Dies ist nur möglich falls a2 + b2 = 1.
Dann aber ist (a, b) = (±1, 0) oder (a, b) = (0, ±1), also u = ±1 bzw. u = ±i.
7
Es seien nun R, R′ Ringe.
Ring-Homomorphismen
Ein Homomorphismus von R nach R′ ist eine Abbildung
f : R → R′
f (x + y) = f (x) + f (y)
f (xy) = f (x)f (y)
f (1R ) = 1R′
Man spricht auch von einem Ring-Homomorphismus oder Homomorphismus von
Ringen.
Offensichtlich ist ein Ring-Homomorphismus auch ein Gruppen-Homomorphimus
(R, +) → (R′ , +) zwischen den unterliegenden additiven Gruppen.
Ähnliches gilt für die multiplikativen Gruppen von R und R′ . Dazu zunächst eine
Vorbemerkung:
Lemma. Ist f : R → R′ ein Ring-Homomorphismus und ist a ∈ R invertierbar,
so ist f (a) invertierbar.
Beweis. Es seien b, c ∈ R mit bc = 1R . Dann gilt
f (b)f (c) = f (bc) = f (1R ) = 1R′
Wendet man dies auf (b, c) = (a, a−1 ) und (b, c) = (a−1 , a) an, so folgt daß f (a−1 )
ein Inverses von f (a) ist.
Es gilt also
×
f (R× ) ⊂ R′
Durch Einschränkung der Abbildung f auf R× ⊂ R erhält man damit eine Abbildung
×
f |R× : R× → R′
Diese Abbildung ist ein Gruppen-Homomorphismus.
Ring-Isomorphismen
Ist ein Ring-Homomorphismus f : R → R′ als Abbildung bijektiv und bezeichnet
f −1 : R′ → R die inverse Abbildung, so ist auch f −1 ein Ring-Homomorphismus.
In diesem Fall heißt f ein Isomorphismus und die Ringe R, R′ heißen isomorph,
in Zeichen R ≃ R′ .
Beispiel: Die komplexe Konjugation
¯: C → C
z = x + iy 7→ z̄ = x − iy
ist ein Ring-Isomorphismus von C in sich.
8
Aufgabe 1. Es sei G eine Gruppe. Man zeige, daß folgende Bedingungen äquivalent sind:
(a) G ist abelsch
(b) Die Multiplikations-Abbildung
µ: G × G → G
µ(g, h) = gh
ist ein Homomorphismus von Gruppen.
(c) Die Inversen-Abbildung
ι: G → G
ι(g) = g −1
ist ein Homomorphismus von Gruppen.
Aufgabe 2.
(1) Es sei G eine Gruppe und es seien U1 , U2 ⊂ G Untergruppen. Man zeige,
daß
U1 ∩ U2 ⊂ G
eine Untergruppe von G ist.
(2) Es sei R ein Ring und es seien S1 , S2 ⊂ S Unterringe. Man zeige, daß
S1 ∩ S2 ⊂ R
ein Unterring von R ist.
(3) Es sei G eine abelsche Gruppe und es seien U1 , U2 ⊂ G Untergruppen.
Man zeige, daß
U1 U2 = { g1g2 | g1 ∈ U1 , g2 ∈ U2 } ⊂ G
eine Untergruppe von G ist.
(4) Zeigen Sie durch ein Gegenbeipiel, daß in (3) die Voraussetzung “abelsch”
notwendig ist.
Anmerkung. Die Aufgaben (1)–(2) sind nur der Einfachheit halber auf jeweils
zwei Untergruppen bzw. Unterringe beschränkt. Allgemein ist jeder Durchschnitt
∩i Ui von Untergruppen wieder eine Untergruppe und jeder Durchschnitt ∩i Si von
Unterringen wieder ein Unterring (mit praktisch dem gleichem Beweis).
9
Aufgabe 3.
(1) Man zeige:
R=
x y
∈ M2 (R) x, y ∈ R
−y x
ist ein Unterring von M2 (R) isomorph zum Körper C der komplexen
Zahlen.
(2) Man zeige:
√
√
Q( 2) = { x + 2y ∈ R | x, y ∈ Q }
ist ein Unterkörper der reellen Zahlen.
√
Anmerkung. Als
bekannt
vorausgesetzt
wird
hier
2 6∈ Q, d. h. die Irra√
tionalität von 2. Siehe hierzu den Link auf der Homepage.
Aufgabe 4. Es sei
n n
o
∈
Q
n
∈
Z,
k
≥
0
2k
die Menge der Brüche mit nur 2er-Potenzen im Nenner.
(1) Man zeige, daß R ein Unterring von Q ist.
(2) Man bestimme die multiplikative Gruppe R× von R.
R=