Datenschutz und Datensicherheit
Werbung
Fakultät für Informatik Professur Theoretische Informatik und Informationssicherheit Wintersemester 2007/08 Prof. Dr. Hanno Lefmann Datenschutz und Datensicherheit 5. Übung Aufgabe 1 Eine n × n-Matrix A = (aij ) über Zb ist invertierbar genau dann wenn ggT(det(A), b) = 1 ist. Dabei ist det(A) die Determinante von A. Im Falle der Invertierbarkeit ergibt sich die Inverse A−1 = (a−1 ij ) als −1 a−1 · (−1)i+j · det(Aj,i ), ij = (det(A)) wobei Aj,i die Untermatrix von A bezeichnet, die durch Streichen der j-ten Zeile und der i-ten Spalte entsteht. Invertieren Sie die folgende Matrix über Z5 : 3 2 4 A= 0 1 1 3 2 3 Hinweis: Im Spezialfall einer 2 × 2-Matrix A = (aij ) erhalten wir det(A) = a1,1 · a2,2 − a1,2 · a2,1 . Im Spezialfall einer 3 × 3-Matrix A = (aij ) erhalten wir det(A) = a1,1 · a2,2 · a3,3 + a1,2 · a2,3 · a3,1 + a1,3 · a2,1 · a3,2 −a1,3 · a2,2 · a3,1 − a1,2 · a2,1 · a3,3 − a1,1 · a2,3 · a3,2 . Aufgabe 2 Zeigen Sie: Für ganze Zahlen a, b mit b ≥ 1 gilt ggT(a, b) = ggT(a mod b, b). Welche Bedeutung hat die Aussage für Aufgabe 1? Aufgabe 3 Einem Angreifer gelingt es, die unten stehende Schlüsselmatrix k ∈ Z53×3 einer Hill-Chiffre bis auf den Eintrag k3,3 zu ermitteln. Welche Werte kann der Eintrag k3,3 ∈ Z5 annehmen? 4 3 1 k= 0 2 2 1 0 k3,3 Aufgabe 4 Mit dem Gauß-Jordan Verfahren wird die Inverse einer invertierbaren n × n-Matrix A = (aij ) über einem Körper folgendermaßen bestimmt: Man beginnt mit der Matrix B = (A|I), d. h. der Konkatenation der Matrix A und der n × nEinheitsmatrix I a1,1 . . . a1,n 1 0 . . . 0 a2,1 . . . a2,n 0 1 . . . 0 B = .. .. .. .. . . . . . an,1 . . . an,n 0 0 . . . 1 Dann bringt man durch Zeilenumformungen (Multiplikation einer Zeile mit einem Element ungleich Null, Vertauschen zweier Zeilen und Addition einer mit einem Element multiplizierten Zeile zu einer anderen) die Matrix in die Form 1 0 . . . 0 c1,1 . . . c1,n 0 1 . . . 0 c2,1 . . . c2,n 0 B = .. .. .. .. , . . . . 0 0 . . . 1 cn,1 . . . cn,n d. h. die Form B 0 = (I|C). Die Matrix C ist dann die Inverse A−1 von A. Wir rechnen im Folgenden im Körper Z5 . Bestimmen Sie mit dem Gauß-Jordan Verfahren die Inverse zur Matrix 1 2 3 A= 2 3 1 0 0 4 und kontrollieren Sie Ihr Ergebnis.
