Mathematische Methoden 4. Übung

Institut für Theoretische Physik
Johannes Berg
der Universität zu Köln
Nico Riedel
http://www.thp.uni-koeln.de/~berg/so12/
http://www.thp.uni-koeln.de/~nriedel/
Mathematische Methoden
4. Übung
Sommersemester 2012
Abgabe:
Montag, 7. Mai 2012, vor der Vorlesung
Besprechung:
Donnerstag, 10. Mai 2012
1. Vektoren unter Basiswechsel (6 Punkte)
a) (4 Punkte) Gegeben sind die zwei Basen B = {e1 , e2 } und B 0 = {e01 , e02 } mit den Komponentendarstellungen bezüglich B
e1 =
!
1
0
B
,
e2 =
!
0
1
sowie e01 =
B
!
2
1
,
e02 =
B
!
−1
1
(1)
B
Nun lassen sich die Basisvektoren von B auch in der Basis von B 0 ausdrücken durch
ei =
2
X
Sji e0j
i ∈ {1, 2}
(2)
j=1
Die Zahlen Sji lassen sich als die Komponenten einer 2 × 2-Matrix S interpretieren. Die
Bedeutung von S ist, dass sie die Komponentendarstellung eines Vektors v bezüglich
B in die Komponentendarstellung eines Vektors v 0 bezüglich der anderen Basis B 0
überführt. S wird daher auch Basiswechselmatrix genannt. Ist S bekannt, kann man
also ganz einfach jeden beliebigen Vektor v bezüglich der anderen Basis darstellen
indem man S auf ihn anwendet: v 0 = Sv. Benutzen Sie Gleichung (2) um S für den
Basiswechsel von B nach B 0 zu bestimmen.
e01
!
e02
−1
!
,
=
an
1 B
1 B
um deren Darstellung bezüglich B 0 zu bestimmen. Haben Sie das Ergebnis erwartet?
b) (2 Punkte) Wenden Sie S auf die beiden Basisvektoren
Erklären Sie wie es zustande kommt.
1
=
2
2. Determinante (14 Punkte)
a) (4 Punkte) In der Vorlesung haben Sie gesehen, wie sich die Determinante einer 3 × 3
Matrix auf mehrere Determinanten von 2 × 2 Matrizen zurückführen lässt:

a b
c

e f


det d e f  = a · det
h i
g h i
!
a b
wobei det
= ad − bc
c d
!
− b · det
d f
g
i
!
+ c · det
d e
!
g h
,
Für 3 × 3 Matrizen gibt es auch eine andere sehr hilfreiche Methode zur Berechnung der
Determinante, die Regel von Sarrus. Dabei werden zur Hilfestellung die beiden linken
Spalten der Matrix noch einmal rechts neben die Matrix geschrieben. Dann werden die
Produkte der Matrixeinträge über die Diagonalen gebildet (für jede Diagonale ergibt sich
also ein Produkt aus drei Matrixeinträgen). Dann werden die Produkte aller Diagonalen
aufaddiert. Hierbei besitzen die Diagonalen in & -Richtung das Vorzeichen “+” und die
Diagonalen in . -Richtung das Vorzeichen “-” (siehe Bild unten). Zeigen Sie, dass obige
Vorschrift und die Regel von Sarrus das gleiche Ergebnis liefern.
b) (2 Punkte) Zum Warmwerden: Wenden sie die Regel von Sarrus an, um die Determinante
von A zu berechnen.


4 3 2


A = 0 1 3
3 2 4
c) (4 Punkte) Folgende Eigenschaften gelten für Determinanten von n × n Matrizen ganz
allgemein:
(ii) det B −1 =
(i) det (B C) = det (B) det (C)
1
det (B)
Begründen Sie diese Beziehungen durch die Volumenänderung des Einheitswürfels unter
den linearen Transformation A, B, bzw. B −1 . Überprüfen Sie die Gültigkeit dieser
Identitäten für die Matrizen

1

B= 2
0 2


0 2
−1 1 0

−1
1

B −1 = −1
1
1
− 12

0

1
0


0 1 5


C = 1 −1 1
0 1 0
Auch hier kann Ihnen die Regel von Sarrus wieder hilfreich sein.
2
d) (4 Punkte) Zeigen Sie, dass die Determinante ganz allgemein folgende Eigenschaften
besitzt.
(i) Die Vertauschung zweier Spalten einer Matrix führt zum Vorzeichenwechsel der Determinante, also

a11 · · ·

a
det 
 21
..
.
a1i · · ·
a1j
a2i
..
.
a2j
..
.
···
a1n


a11 · · ·


a2n  = − det a21


..
..
.
.
a1j
···
a2j
..
.

a1i · · ·
a1n
a2i
..
.

a2n 

..
.
(ii) Addiert man zu einer Spalte einer Matrix eine Linearkombination der übrigen Spalten, so ändert sich die Determinante nicht, also

a11 · · ·


det 
a21

..
.
a1i +
P
λk a1k · · ·
k6=i
a2i +
P
k6=i
..
.
λk a2k
a1n


a11 · · ·




a2n 
 = det a21
..

..
.
.

a1i · · ·
a1n
a2i
..
.

a2n 

..
.
Hinweis: Beide Eigenschaften folgen aus der Eigenschaft der Multilinearität sowie der
Eigenschaft, dass die Determinante alternierend ist.
3