Lösungen

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Wintersemester 2005/06
Lineare Algebra I
Lösungen: 10. Übung zur Vorlesung
1. Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Abbildung R(n,n) → R, X → det(XB) aus dem Beweis
von Satz 5.3.1 n-linear und alternierend ist.
Lösung: Wenn wir die Zeile xi in X durch xi +x′i λ ersetzen, dann wird die Zeile xi B durch
xi B + (x′i B)λ ersetzt. Damit folgt die n-Linearität der Abbildung aus der n-Linearität
von det(XB). Wenn zwei Zeilen in X gleich sind, dann sind die entsprechenden Zeilen
in XB gleich. Vertauschen von zwei Zeilen in X induziert Vertauschen von den Zeilen in
XB. Also, die Abbildung ist auch alternierend, weil det(XB) alternierend ist.
2. Aufgabe: Berechnen Sie die Adjunkte sowie die Determinante von


1 3
2
A := 5 8 −1 ∈ R(3,3) .
2 −1 0
Geben Sie A(−1) an.
Lösung:

−1 −2 −19
1
adj(A) =  −2 −4 11  und A−1 = det(A)−1 adj(A) = − adj(A).
49
−21 7 −7

3. Aufgabe: Wir definieren eine Matrix Mn (x) in R(n,n) wie folgt: Der (i, j)-Eintrag sei
(x + j)i + xj , wobei x eine beliebige reelle Zahl ist.
Konstruieren Sie diese Matrix mit MAPLE für n = 5, 7, 10. Zeigen Sie, dass es in diesen
drei Fällen mindestens n − 1 ganzzahlige Werte x so gibt, dass Mn (x) nicht invertierbar
ist.
Formulieren Sie eine naheliegende Vermutung. Können Sie Ihre Vermutung auch beweisen?
Lösung: Beachten Sie bitte den Fehler in der ursprünglichen Aufgabenstellung, wo wir
von n Nullstellen gesprochen haben! Das MAPLE Programm
n := 5;
M := matrix(n,n,(i,j)->(x+j)^i+x);
factor(det(M));
zeigt, dass für n = 5, 7 und 10 die Determinante der Matrix 0 ist, wenn x ∈ {−(n −
1), . . . , −1}.
Wir werden dies für allgemeines n beweisen.

..
..
.
.

(x + 1)i−1 + x (x + 2)i−1 + x2
Mn (x) = 
(x + 2)i + x2
 (x + 1)i + x
..
..
.
.

..
.
.

. . . (x + n)i−1 + xn 
.
. . . (x + n)i + xn 
..
..
.
.
..
′
Sei Mn (x) die Matrix, die für 2 ≤ i ≤ n in der i.ten Zeile die i.te Zeile minus die
(i − 1).Zeile der Matrix Mn (x) hat. Die erste Zeilen der Matrizen sind gleich. Also,


(x + 1) + x
(x + 2) + x2
...
(x + n) + xn
..
..
..
..


.
′
.
.
.


Mn (x) = 
.
(x + 1)i−1 x (x + 2)i−1 (x + 1) . . . (x + n)i−1 (x + n − 1)
..
..
..
..
.
.
.
.
Beachte, dass für x = −j mit 1 ≤ j ≤ n − 1 die j. und (j + 1).Spalten linear abhängig
sind, denn




1 + (−j)j+1
(−j)j


 0 
0




.
 ..  und 
..


 . 
.
0
0
Damit ist die Matrix Mn (x) für n − 1 ganzzahlige Werte x ∈ {−n + 1, . . . , −1} nicht
invertierbar.
4. Aufgabe: Benutzen Sie die Cramer’sche Regel, um das folgende lineare Gleichungssystem über F7 zu lösen:
x + 3y +2z = 1
2x + 2y +z = 1
x
+z = 1
Lösung: Sei


1 3 2
A := 2 2 1 .
1 0 1
Dann ist det(A) = 2 und (det(A))−1 = 2−1 = 4.



1 3 2
1 1



A1 := 1 2 1 ; A2 := 2 1
1 0 1
1 1
Setze



2
1 3 1
1 ; A3 := 2 2 1 .
1
1 0 1
Nach der Cramer’schen Regel gilt
x = det(A1 )(det(A))−1 = 5 · 4 = 6,
y = det(A2 )(det(A))−1 = 1 · 4 = 4,
z = det(A3 )(det(A))−1 = 4 · 4 = 2.