Mathematik II für inf, swt Blatt Z2

Mathematik II
für inf, swt
Universität Stuttgart
PD Dr. P. H. Lesky
Blatt Z2
Diese Aufgaben sind zum Selbstüben und passen vom Stoff her zu Blatt G2
Aufgaben aus dem Mathe-online Programm:
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/interaufg/interaufg1/
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/interaufg/interaufg27/
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/interaufg/interaufg233/
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/interaufg/interaufg280/
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/interaufg/interaufg753/
Aufgabe Z7 Bringen Sie die Matrix A

1
5

A :=
1
0
2
6
1
0
3
7
1
0
4
8
1
1

1
4 
0
1
durch elementare Umformungen auf die Form


1
0
..

.
0 .
 0

1
0
0
Geben Sie in jedem Schritt an, welche EU Sie benützen (z.B. EZUII ).
Aufgabe Z8

2 0
0 7
a)  3 0
0 0
Berechnen Sie den Rang und (falls sie existiert) die Inverse folgender Matrizen:





5 0
1 4 9 16
1 2 3 4
0 2 
4 9 16 25
0 1 2 3
b)  9 16 25 36 
c)  0 0 1 2 
7 0
0 6
16 25 36 49
0 0 0 1
Aufgabe Z9 Bestimmen Sie den Rang der
a und b:

a
b
A :=  0
b
Matrix A in Abhängigkeit der rellen Parameter

b 0 b
a b 0 
b a b .
0 b a
Aufgabe Z10 Lösen Sie das folgende Gleichungssystem, und geben Sie eine Basis des Lösungsraums
des zugehörigen homogenen Systems an:
2x2 +3x3
−x5
2x1 −2x2
+4x4 −2x5
4x2 +6x3 +3x4
3x4 +2x5
1
=
1
=
1
=
0
= −2
Aufgabe Z11 Für welche Werte von t ∈ R haben die Gleichungssysteme Ax = 0 bzw. Ax =
b Lösungen, wobei
!
!
2 2 1
1
A= 1 3 1
,
b= 1 .
0 4 t
2
Berechnen Sie hierzu Rang(A) und Rang(A, b).
Aufgabe Z12 Bestimmen Sie die Determinante der Matrix M


1 2 3
M :=  0 0 4 
−2 0 0
nur mit Hilfe der Axiome (D1), (D2), (D3).
Aufgabe Z13 Gegeben sei die Matrix


0
1 −2 −4
 −1
0
2
1 
.
A := 
 2 −2
0 −3 
4 −1
3
0
a) Bestimmen Sie det A durch Entwicklung nach einer Zeile.
b) Berechnen Sie det A durch Spalten– und Zeilenumformungen und nachfolgender Entwicklung.
c) Bestimmen Sie die Determinanten der Matrizen AT , A−1 , A2 , A · AT und A + AT .
d) Bestimmen Sie det(A − t · ) für t ∈ R. Zeigen Sie, dass für geeignete Zahlen a, b ∈ R
det(A − t · ) = t4 − (SpurA) · t3 + at2 + bt + det A
gilt, wobei SpurA := a11 + a22 + a33 + a44 die Spur von A ist. Für welche Werte von t
besitzt A − t · keine inverse Matrix?
Aufgabe Z14 Esseien A ∈
Mn×n , B ∈ Mn×m und C ∈ Mm×m Matrizen. Ferner sei M die
A B
Blockmatrix M :=
. Zeigen Sie anhand des Entwicklungssatzes für Determinanten,
0 C
daß gilt: det(M ) = det(A) · det(C).
Aufgabe Z15 (Existenz der Determinante) Für n ∈ N sei die Abbildung det : Mn,n →
C rekursiv definiert durch
det A := a
für A = (a), a ∈ C
(Fall n = 1),
n
X
(−1)i+j αij det Aij
(vgl. Laplacescher Entwicklungssatz).
det A :=
j=1
Zeigen Sie, dass die so definierte Abbildung die Eigenschaften (D1), (D2), (D3) besitzt.
2
Aufgabe Z16 Gegeben sei das parameterabhängige lineare Gleichungssystem
2x +
y + kz =
2,
6x + (4 − k)y + 3z =
6,
−2kx −
y − z = −2.
a) Berechnen Sie die Determinante der Koeffizientenmatrix A(k).
b) Für welche k ∈ R besitzt das lineare Gleichungssystem
(i) eine eindeutige Lösung,
(ii) keine Lösung,
(iii) mehr als eine Lösung?
Bestimmen Sie im Fall (iii) sämtliche Lösungen.
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