Lineare Algebra I

Lineare Algebra I
Prof. Dr. M. Rost
Übungen — Blatt 1 (WS 2010/2011)
Abgabetermin: Donnerstag, 21. Oktober
http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la1
Erinnerungen an die Vorlesung:
Im Folgenden werden einige Definitionen und Bemerkungen aus der Vorlesung
zusammengefaßt. Man kann die meisten Dinge in Büchern oder auf den auf der
Hompage angegebenen Wikipedia-Links nachlesen.
Der Grundring wird mit R bezeichnet. Allgemein wird R als kommutativer Ring
mit Einselement vorausgesetzt, für den Moment sei einfach R = R (Körper der
reellen Zahlen) oder R = C (Körper der komplexen Zahlen).
Eine m × n-Matrix über R (mit Koeffizienten in R) ist ein Tupel


a1,1 . . . a1,n
.. 
A = (ai,j ) i=1,...,m =  ...
.
j=1,...,n
am,1 . . . am,n
Die Menge der m × n Matrizen wird bezeichnet mit
M(m, n, R) = (ai,j ) i=1,...,m ai,j ∈ R
j=1,...,n
Dabei wird die Angabe des Grundringes oft weggelassen und man schreibt M(m, n) =
M(m, n, R). Für quadratische Matrizen (m = n) schreibt man auch
Mn (R) = M(n, R) = M(n, n, R)
Für eine Matrix A bezeichnet Aij die entsprechende Komponente, man hat also
A = (Aij ). Matrizen können mit einem Skalar multipliziert werden:
(bA)ij = bAij
(A ∈ M(m, n, R), b ∈ R)
Matrizen gleicher Dimensionen können addiert werden:
(A + B)ij = Aij + Bij
(A, B ∈ M(m, n, R))
Allgemeiner kann man Linearkombinationen der Form
r
X
br Ar ∈ M(m, n, R)
(Ak ∈ M(m, n, R), bK ∈ R)
k=1
2
bilden, wobei natürlich
r
X
br Ar
k=1
!
=
r
X
br (Ar )i,j
k=1
i,j
Die transponierte Matrix
At = AT ∈ M(n, m, R)
(A ∈ M(m, n, R))
entsteht durch Vertauschung der Zeilen und Spalten:
(At )i,j = Aj,i
Offensichtlich gilt
(At )t = A
Zwei Matrizen mit passender Dimension können multipliziert werden: Man hat
Produkte
M(m, n, R) × M(n, p, R) → M(m, p, R)
(A, B) 7→ AB
wobei hier jeweils die Produktsumme der i-ten Zeile von A mit der gleichlangen
k-ten Spalte von B die (i, k)-te Komponente des Produktes ergeben:
(AB)i,k =
n
X
Ai,j Bj,k
j=1
Eine einfache Anwendung ist die Matrizen-Schreibweise eines linearen Gleichungssytems:
a11 a12
x
b
= 1
a21 a22
y
b2
bedeutet ja gerade
a11 x + a12 y = b1
a21 x + a22 y = b2
Für die Transposition eines Produktes gilt:
(AB)t = B t At
für A ∈ M(m, n), B ∈ M(n, p).
Dies soll hier als Beispiel bewiesen werden. Es ist zu zeigen, daß für alle i, j
die (i, j)-te Komponente von (AB)t mit der (i, j)-ten Komponente von B t At
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übereinstimmt. Dies folgt z. B. so:
(AB)t i,j = (AB)j,i
=
=
n
X
h=1
n
X
Aj,h Bh,i =
n
X
Bh,i Aj,h
h=1
Bt
h=1
i,h
Eine spezielle quadratische Matrix ist die

1
0
En = 1n = 
 ...
At
h,j
= B t At
i,j
Einheits-Matriz oder Identität:

0 ... 0
1 . . . 0
.. . . .. 
. .
.
0 0 ... 1
mit
(En )i,j =
(
1 für i = j
0 für i 6= j
Es gilt
Em A = A = AEn
für A ∈ M(m, n).
Die quadratischen Matrizen spielen eine Sonderrolle. Das Produkt von Matrizen
A, B ∈ Mn (R) liegt wieder in Mn . Damit wird Mn (R) zu einem assoziativen Ring
mit Einselement En (der für n > 1 nicht kommutativ ist).
Eine (quadratische) Matrix A ∈ Mn (R) heißt invertierbar, wenn es eine Matrix
B ∈ Mn (R) gibt mit
AB = BA = En
Die Matrix B heißt die Inverse von A und wird mit A−1 bezeichnet. Die Inverse
einer Matrix ist eindeutig bestimmt: Sind B, C invers zu A, so folgt:
C = C · E = C · (A · B) = (C · A) · B = E · B = B
Eine wichtige Invariante von quadratischen Matrizen ist die Spur. Sie ist das
Element des Grundringes gegeben durch die Summe der Diagonalelemente:
n
X
spur(A) =
Ai,i
i=1
für A ∈ Mn (R).
Eine weitere wichtige Invariante ist die Determinante, die für n > 2 erst später
im Verlauf der Vorlesung eingeführt wird.
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Spezielles zu M2 (R)
Wir betrachten 2 × 2-Matrizen. Es sei
A=
Die Spur von A ist
a b
c d
spur(A) = a + d
Die Determinante von A ist definiert als
det(A) = ad − bc
Die Adjunkte von A ist definiert als
A =
∗
d −b
−c a
(Vorsicht: Ich hatte in der Vorlesung den Namen “Adjungierte” benutzt, der nicht
völlig ungebräuchlich dafür ist, aber zumeist für die konjugiert-transponierte Matrix einer Matrix über C steht. Um Verwechslungen vorzubeugen, werde ich in
Zukunft den Name “Adjunkte” verwenden).
Es sei
1 0
E=
0 1
und
0 −1
V =
1 0
Im Folgenden seien einige Bemerkungen aus der Vorlesung aufgelistet, ohne Gewichtung der Schwierigkeit.
Satz.
(A∗ )∗ = A
A + A∗ = spur(A)E
AA∗ = A∗ A = det(A)E
V 2 = −E
V −1 = −V
A∗ = V At V −1
(AB)∗ = B ∗ A∗
det(AB) = det(A) det(B)
Bitte schauen Sie sich die Beweise nochmal an.
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Nachtragen möchte ich hier:
Lemma. Für A ∈ M2 (R) gilt:
A2 − spur(A)A + det(A)E = 0
Beweis.
det(A)E = AA∗ = A(A − spur(A)E) = A2 − spur(A)A
Lemma. A ∈ M2 (R) ist invertierbar genau dann wenn det(A) invertierbar ist.
(Ist R ein Körper, so ist die Invertierbarkeit von det(A) gleichbedeutend mit
det(A) 6= 0).
Beweis. Ist det(A) invertierbar, so ist
A−1 =
1
A∗
det(A)
die Inverse von A.
Umgekehrt, ist B ∈ M2 (R) eine Inverse, so ist AB = E, also
1 = det(E) = det(AB) = det(A) det(B)
Daher ist det(A) invertierbar.
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Aufgabe 1. Man schreibe jedes der folgenden Gleichungssysteme in Matrizenform
x
A
=W
y
Sodann bestimme man für die Matrix A die Determinante, die Inverse A−1 und
das Quadrat A2 = A · A.
Schließlich gebe man die Lösung des jeweiligen Gleichungssystems an.
(1)
4x + 5y = 1
3x + 4y = 2
(2)
4x + 5y = 1
3x − 4y = 2
Aufgabe 2.
(1) Man zeige:
spur(AB) = spur(BA)
für A ∈ M(m, n), B ∈ M(n, m).
(2) Man zeige die Assoziativiät des Matrizenproduktes, d. h.
(AB)C = A(BC)
für A ∈ M(m, n), B ∈ M(n, p), C ∈ M(p, q).
Aufgabe 3. Es sei A eine 2 × 2-Matrix über einem Körper (R oder C). Man
zeige:
Es gilt det(A) = 0 genau dann, wenn A das Produkt eines Spaltenvektors mit
einem Zeilenvektor ist, d. h.
u
s t
A=
(u, v, s, t ∈ R)
v
Hinweis. Eine Schwierigkeit
ist vielleicht, das u, v, s, t nicht eindeutig bestimmt
sind. Ist A = ac db , so empfiehlt es sich, eine Fallunterscheidung a 6= 0, a = 0 zu
machen.
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Aufgabe 4. Wir betrachten folgende Matrizen aus M2 (C):
1 0
i 0
0 −1
0 i
X0 = E =
, X1 =
, X2 =
, X3 =
0 1
0 −i
1 0
i 0
(1) Für a, b, c, d ∈ C finde man z0 , z1 , z2 , z3 ∈ C mit
a b
= z0 X0 + z1 X1 + z2 X2 + z3 X3
c d
(2) Für x0 , x1 , x2 , x3 ∈ R (nicht C!) bestimme man
det(x0 X0 + x1 X1 + x2 X2 + x3 X3 )
Anmerkung. Die Aufgabe ist im Wesentlichen eine Übung zum Rechnen mit komplexen Zahlen.
Die betrachteten speziellen Matrizen haben besondere Eigenschaften, wie
X12 = X22 = X32 = −E
Xi Xj
X1 X2
X2 X3
X3 X1
X1 X2 X3
= −Xj Xi
= −X3
= −X1
= −X2
=E
(1 ≤ i, j ≤ 3, i 6= j)
Die Menge
H = RX0 + RX1 + RX2 + RX3
der reellen Linearkombinationen der Xi ist als Quaternionen-Algebra bekannt.