Blatt 2

Math. - Naturwiss. Fakultät
Fachbereich Informatik
Kognitive Systeme . Prof. A. Zell
Grundlagen der Robotik
Wintersemester 2014/2015
Übungsblatt 2
Betreuer: Sebastian Buck und Sebastian Scherer
Abgabe: 04.11.2014, Besprechung: 11.11.2014
Aufgabe 1 (10 Punkte)
Die untenstehende Abbildung zeigt ein dreiachsiges Roboterhandgelenk, bei dem sich Yaw-, Pitchund Roll-Achse in einem Punkt schneiden. Dieser Schnittpunkt sei der Ursprung des dreidimensionalen
Koordinatensystems H . Der Winkelbereich des Yaw-Winkels ψ sei [−180◦ , 180◦ [, der des Pitch-Winkels
θ sei [−90◦ , 90◦ ] und der des Roll-Winkels φ sei [−180◦ , 180◦ [. In der abgebildeten Konfiguration seien
alle Gelenkwinkel gleich Null.
zH
Pitch
Roll
yH
xH
Yaw
(a) Aus welchem Grund wird ein derartiges Gelenk als sphärisches Handgelenk bezeichnet? Nennen
Sie jeweils mindestens einen Vor- und Nachteil dieses Gelenktyps.
(2 Punkte)
(b) In der oben abgebildeten Nullstellung befindet sich der Endeffektor an Position P0 = (x0 , y0 , z0 )T =
(0, 0, l)T . Geben Sie die allgemeine Formel der Endeffektorposition P = (x, y, z)T in Abhängigkeit von φ, θ, ψ an. Hinweis: xH zeigt vom Betrachter weg.
(3 Punkte)
(c) Der obige Endeffektor soll an die Position Pb = (xb , yb , zb ) = (4, 3, 5) gebracht werden. Nehmen
Sie an, dass das Endstück die dafür passende Länge l hat. Welche Winkel müssen dazu an der
Yaw-, Pitch- und Roll-Komponente eingestellt werden? Geben Sie im Fall von Mehrdeutigkeiten
alle möglichen Winkelkombinationen an.
(4 Punkte)
(d) Der Endeffektor soll nun an die Position Pc = (4, 3, −5) bewegt werden. Geht das? Begründen
Sie Ihre Antwort.
(1 Punkt)
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Betrachten Sie die folgenden aus der Vorlesung bekannten Roboterarme mit zylindrischer bzw. SCARAGeometrie. Geben Sie die 3D-Endeffektorposition für die jeweils vorgegebenen Werte der Gelenkvariablen
an und skizzieren Sie den Manipulator in dieser Konfiguration. Die Gelenkwinkel θ seien jeweils 0, wenn
der Manipulator komplett entlang der x-Achse ausgestreckt ist.
(a) Zylindrische Geometrie: d1 = 1 m, θ2 = 45° und d3 = 0.5 m
(2 Punkte)
(b) SCARA: θ1 = 45°, θ2 = −45°, θ3 = 60°, d1 = 0.75 m, l2 = 0.8 m, l3 = 0.4 m, d4 = 0.5 m.
(2 Punkte)
Aufgabe 3 (6 Punkte)
Die Berechnung der Bewegung eines Roboterarms wird oft durch entsprechende Matrixoperationen
ausgedrückt. Seien nun A ∈ Rk×m , B ∈ Rm×n und C ∈ Rn×p Matrizen. Aij bezeichne das Element
in Zeile i und Spalte j in A (analog für B und C), d.h.

A11 . . . A1m

 .
.. 
..
.
A=
.
. 
 .

Ak1 . . . Akm
Es bezeichne AT die Transponierte von A, d.h. (AT )ij = Aji . Sei ferner Ik ∈ Rk×k die k -dimensionale
Einheitsmatrix. Wenn die Dimension der Einheitsmatrix klar ist, schreibt man gewöhnlich nur I. Für die
Inverse A−1 einer invertierbaren Matrix A gilt: A · A−1 = A−1 · A = I
(a) Für das Produkt zweier beliebiger Matrizen gilt: (A · B)T = BT · AT . Zeigen Sie hiermit, dass
für das Produkt dreier beliebiger Matrizen R = (A · B · C)T = CT · BT · AT gilt. Welche
Dimension besitzt die resultierende Matrix R?
(2 Punkte)
(b) Zeigen Sie, dass für beliebige Matrizen gleicher Dimension, Q, R ∈ Rm×n , gilt: (Q + R)T =
QT + R T .
(2 Punkte)
(c) Ist eine invertierbare Matrix M ∈ Rn×n gegeben, so ist auch die Transponierte von M, MT ,
invertierbar. Zeigen Sie, dass in diesem Fall MT
−1
T
= (M−1 ) gilt.
(2 Punkte)