Miniprojekt: Komplexe Zahlen C als Teilmenge der 2x2 Matrizen M

Miniprojekt: Komplexe Zahlen C als Teilmenge der 2x2 Matrizen M(2,R)
1)
Multiplikation in C = { z = a + bi  a, b  R und i2 = –1}
a) Was bedeutet die Multiplikation mit einer komplexen Zahl geometrisch?
b) Was hat dies mit linearen Abbildungen (Matrizen) zu tun?
c) Wie muss demzufolge eine Matrix aussehen, die eine komplexe Zahl darstellt?
Hinweis: Überlege dies an konkreten Beispielen für z = a + bi:
c1)
z = 1, z = 2, z = a
c2)
z = i, z = 3i, z = bi
c3)
z = 1 + i, z = 1 – i
c4)
allgemein für z = a + bi
2)
Az sei eine Matrix, die eine komplexe Zahl darstellt.
Beweise: Det(Az) = z 2
3)
Beweise:
a)
b)
Az1 + Az2 = Az1+z2
Az1 ·Az2 = A z1·z2
4)
Berechne:
a)
b)
Az  A z
5)
c)
z  z -1
Gegeben:
z1 = – 3 – 4i, z2 = – 0,5 + 2i,
z3 = – 1 – i
Schreibe die Zahlen in Matrizenform auf und berechne:
a) z1 + z2 + z3
b) z1  z3
z3 -1
6)
Berechne:
1 1




1 1
7)
Berechne:
I + A + A2 + A3 + ... + A9
8)
Gib alle Matrizen A an, für die gilt A3 = I.
9)
8 0 
3

Gib alle Matrizen A an, für die gilt A  

.
0 8
100
für
 3 2

A  

.
2 3