Statistische Thermodynamik II Serie 7

Statistische Thermodynamik II
Serie 7
Photonengas
31. Oktober 2016
1. Energiedichte des Photonengases.
(a) Überprüfe unter Benutzung der unendlichen Reihe
Z ∞
x3
π4
dx
=
.
ex − 1
15
0
P∞
4
n=1 1/n
= π 4 /90, dass
(b) Berechne mit Hilfe dieses Resultates die Energiedichte
U
1 X
~k hn(~k, α)i ,
u(T ) =
=
V
V
~k,α
wobei α = 1, 2 die zwei Polarisationen des Photons bezeichnet und ~k den Wellenvektor des Photons mit Energie ~k = ~ωk = ~c|~k|.
2. Gib die mittlere Anzahl hNPhoton i der Photonen in einem gegebenen Strahlungshohlraum mit Volumen V und Temperatur T an.
3. Strahlungsdruck des Photonengases.
(a) Thermodynamische Betrachtung:
Berechne den Druck des Photonengases aus der Zustandssumme des thermischen Photonengases. Beachte, dass in einem Photonengas für das chemische
Potential µ = 0 gesetzt werden kann.
(b) Quantenmechanische Betrachtung:
Berechne den Druck des Photonengases mithilfe des Ausdrucks
X
∂i
∂E
=
hni i −
,
P =−
∂V
∂V
i
wobei i = (~k, α) die quantenmechanischen Schwingungsmoden indiziert.
(c) Kinetische Betrachtung:
Betrachte die Photonen als spezielle, relativistische Teilchen, welche an einer
Wand reflektiert werden. Die Wand sei als perfekter Spiegel realisiert: keine
Absorption oder Emmission, nur Reflektion. Berechne den Druck des Photonengases mithilfe des Impulsübertrages im Zeitraum dt pro Einheitsfläche. Benutze dazu, dass für eine allgemeine Funktion φ(k) mit k = |~k| wegen der
Rotationssymmetrie
Z
Z
kz2
1
3
d k φ(k) =
d3 k φ(k) · k
k
3
gilt.
U. Wenger