Serie 07

Statistische Thermodynamik II
Lösungen zur Serie 7
Photonengas
4. Novomber 2016
1. Energiedichte des Photonengases.
(a) Überprüfe unter Benutzung der unendlichen Reihe
Z ∞
x3
π4
dx
=
.
ex − 1
15
0
P∞
n=1 1/n
4
= π 4 /90, dass
Wir schreiben den Integranden etwas um und identifizieren den Bruch als geometrische Reihe:
Z ∞
Z ∞
∞
∞ Z ∞
X
X
1
3 −x
−kx
3 −x
x e
e
dx =
x3 e−kx dx
dx =
=
x e
1 − e−x
0
0
0
k=0
k=1
∞
∞
X
π4
π4
∂ 3 1 X −4
=
6k
=
6
·
=
.
=−
∂k 3 k
90
15
k=1
k=1
(b) Berechne mit Hilfe dieses Resultates die Energiedichte
U
1 X
u(T ) =
=
~k hn(~k, α)i ,
V
V
~k,α
wobei α = 1, 2 die zwei Polarisationen des Photons bezeichnet und ~k den Wellenvektor des Photons mit Energie ~k = ~ωk = ~c|~k|.
Da Photonen Bosonen sind, gilt
1 X
2 X
1
.
u(T ) =
~k hn(~k, α)i =
k β
V
V
e k −1
~k,α
~k
Der Betrag des Photonenimpuls ist pk = k /c = ~|~k|. Nun kann die Summe
über die Zustände als Integral über den Phasenraum ausgedrückt werden mit
Z
Z ∞
2 V
1
8π
1
3
=
c|~
p| βc|~p|
cp3 βcp
dp .
dp=
3
3
V (2π~)
(2π~) 0
e −1
e
−1
Die Variablentransformation zu x = βcp ergibt
Z ∞
4 T4
π 2 kB
1
π2
1
1
= 2 3 4 3
x3 x
dx =
=
.
π ~ β c 0
e −1
15β 4 ~3 c3
15~3 c3
Alternativ summieren wir über die dreier Tupel der ganzen Zahlen ~n und wählen
als mögliche Zustände ~k = 2π/L · ~n mit der Seitenlänge des Systems L
Z
1
2 X 2π|~n|
1
16π 2 ~c ∞ 3
~c
=
n β~c2πn/L
dn .
=
V
L eβ~c2π|~n|/L − 1
LV
e
−1
0
~
n
Die Substitution x = 2πβ~cn/L und L3 = V liefert ebenfalls
Z ∞
1
1
π2
= 2 4 3 3
x3 x
dx =
.
π β ~ c 0
e −1
15β 4 ~3 c3
1
2. Gib die mittlere Anzahl hNPhoton i der Photonen in einem gegebenen Strahlungshohlraum mit Volumen V und Temperatur T an.
Die mittlere Besetzungszahl für ein bosonisches ideales Quantengas kennen wir bereits
1
hn~k i = hnk i =
.
(1)
exp[β(k − µ)] − 1
Die Anzahl der Photonen im Strahlungshohlraum ist nicht konstant (sie können an
den Wänden erzeugt und vernichtet werden):
X
nPhoton (~k, α) =
n~m
6= const.
(2)
k
m,~k
Das chemische Potential verschwindet
µ=
∂Er (V )
= 0,
∂NPhoton
(3)
da der Hamiltonoperator für freie Teilchen und damit das Energiespektrum Er (V )
nicht von NPhoton abhängen. Für µ = 0 vereinfacht sich nun die mittlere Besetzungszahl pro Mode zu
1
hnPhoton (~k, α)i =
.
(4)
exp(βk ) − 1
Die Energie ist hier k = ~ck ∝ V −1/3 . Nun muss noch über alle Moden summiert
werden, um die Gesamtzahl der Photonen im Strahlungshohlraum auszurechnen:
Z
Z
X
1
1
3
~
hNPhoton i =
hnPhoton (k, α)i = 2
d x d3 k
(5)
3
(2π)
exp(βk ) − 1
~k,α
V
= 2
π
Z∞
dk
k2
exp(β~ck) − 1
(6)
0
2V ζ(3)
= 2 3 3 3
π β ~ c
.
(7)
3. Strahlungsdruck des Photonengases.
(a) Thermodynamische Betrachtung:
Berechne den Druck des Photonengases aus der Zustandssumme des thermischen Photonengases. Beachte, dass in einem Photonengas für das chemische
Potential µ = 0 gesetzt werden kann.
Der Druck des Photonengases kann bestimmt werden unter Verwendung von
∂F (T, V ) ∂
P =−
= kT
ln Z(T, V ) .
∂V
∂V
T
2
Die Zustandssumme Z(T,V) für das Photonengas vereinfacht sich durch das
Verschwinden des chemischen Potentials. Die freie Energie wird somit zu
F (T, V ) = kT
∞
X
ln 1 − eβ(µ−i )
i=0
= kT
X
ln 1 − e−βhν ,
ν
wobei wir hier den expliziten Ausdruck der Energie eines Photons mit Frequenz ν schon eingesetzt haben. Dies nun bei konstanter Temperatur nach dem
Volumen abgeleitet ergibt
−1
X
∂
∂ν
kT
e−βhν 1 − e−βhν
,
ln Z(T, V ) = −kT
βh
∂V
∂V
ν
mit ν = λc V −1/3 , was in Aufgabe 3(b) Gleichung (8) erläutert wird, ergibt sich
ν
∂ν
=−
,
∂V
3V
und somit
−1
∂ν
P = −kT
βh
e−βhν 1 − e−βhν
∂V
ν
−1
X ν
=
h
e−βhν 1 − e−βhν
3V
ν
−1
1 X
hνe−βhν 1 − e−βhν
=
3V ν
X
=
E
.
3V
Definieren wir die Energiedichte u = E/V , so erhalten wir für den Druck
P =
u
.
3
(b) Quantenmechanische Betrachtung:
Berechne den Druck des Photonengases mithilfe des Ausdrucks
X
∂E
∂i
=
hni i −
,
P =−
∂V
∂V
i
wobei i = (~k, α) die quantenmechanischen Schwingungsmoden indiziert.
Für die Impulse in einem kubischen Volumen V = L3 mit periodischen Randbedingungen gilt
2π
1
k~i =
(nx , ny , nz ) −→ ki = |k~i | ∝
L
L
3
(8)
und damit für die Energie i eines relativistischen Teilchens
i = ~cki ∝
1
1
= V −3 .
L
Die Ableitung nach V lässt sich dann schreiben als
−
∂i
1 i
=
∂V
3V
un der Druck lautet
P =
1X
i
1E
1
hni i =
= u.
3
V
3V
3
i
Bemerkung: Wie bereits in früheren Übungsserien erwähnt, hängt das Resultat
im thermodynamischen Limes nur vom Gesamtvolumen ab, jedoch nicht von
dessen Form oder den Randbedingungen.
(c) Kinetische Betrachtung:
Betrachte die Photonen als spezielle, relativistische Teilchen, welche an einer
Wand reflektiert werden. Die Wand sei als perfekter Spiegel realisiert: keine Absorption oder Emmission, nur Reflektion. Berechne den Druck des Photonengases mithilfe des Impulsübertrages im Zeitraum dt pro Einheitsfläche. Benutze
dazu, dass für eine allgemeine Funktion φ(k) mit k = |~k| wegen der Rotationssymmetrie
Z
Z
k2
1
d3 k φ(k) z =
d3 k φ(k) · k
k
3
gilt.
Der Einfachheit halber betrachten wir zuerst eine Fläche in der xy-Ebene. Die
Anzahl der Photonen eines bestimmten Impulses, welche diese Fläche A im
Zeitintervall dt erreichen, ist
dN = (A cos (θ) c · dt) 2φ(k)d3 k ,
wobei cos (θ)c die Geschwindigkeit des Photons in z-Richtung ist (vgl. Abbildung 1). φ(k) ist die Teilchendichte für Photonen mit Wellenvektor ~k mit einem
Faktor 2 für die Polarisierung. Bei einer Reflektion ändert sich der Wellenvektor
~k → k~0 :
(kx , ky , kz ) → (kx , ky , −kz )
und der Impulsübertrag ∆p auf die Wand ist ∆p = 2pz = 2~kz . Ausserdem
ist cos (θ) = kz /k. Der Druck ist nun der Impulsübertrag aller Teilchen im
Zeitraum dt pro Einheitsfläche
Z
1
kz
2~kz A c · dt 2φ(k)d3 k .
P =
Adt kz >0
k
Da der Integrand eine gerade Funktion in kz ist, können wir
Z
Z
1 ∞
⇒
dkz =
dkz ,
2 −∞
kz >0
4
Wand
A
c · dt
θ
~k
~k 0
Abbildung 1: Illustration zu Aufgabe 3.
benutzen. Mithilfe der Rotationssymmetrie ergibt sich dann
k2
z
}|
{
Z
Z
Z
2
2
2
kx + ky + kz2
1
kz
1
1
3
3
P = d k ~c
2φ(k) =
d k ~c
2φ(k) =
d3 k |{z}
~ck 2φ(k) = u.
|
{z
}
k
3
k
3
3
In Abbildung 1 wird die Rechnung graphisch illustriert.
5
Dichte