Algebra für Informatik (2016S)

Algebra für Informatik (2016S)
4. Übungsblatt
für den 18. April 2016
1. Beweisen Sie Satz 2.9: Seien k, l, m ∈ N, und seien A, B ∈ Rk×l , C ∈ Rl×m .
Dann gilt
(A + B) · C = (A · C) + (B · C).
Hinweis: Berechnen Sie von beiden Matrizen den (i, j)-ten Eintrag.
2. Finden Sie eine Matrix X, sodass A · X = B, wobei
−4 0
2 −7
A=
, B=
.
1 2
5 10
Hinweis: Jede Spalte von X entspricht der Lösung eines linearen Gleichungssystems.
3. Sei n ∈ N, und seien A, B, En ∈ Rn×n , wobei En die Einheitsmatrix vom
Format n × n ist. Bestimmen Sie, welche von den folgenden Gleichungen
im Allgemeinen gültig sind. Verbessern Sie diejenigen Gleichungen, die
nicht allgemein gelten, indem Sie die rechte Seite der Gleichung verändern.
Anmerkung: Für eine n × n-Matrix X und k ∈ N definieren wir
X k :=
X
· · X}
| ·{z
.
k−faches Produkt
(a)
(A + B)2 = A2 + B 2
(b)
(A − B) · (A + B) = A2 − B 2
(c)
(A + En )2 = A2 + 2A + En
(d)
(A + B)2 = A2 + B 2 + 2A · B
(e)
(AB + BA)T − (AB)T = AT · B T
1
4. Gegeben sei die Matrix

5
A = 8
1

−3
1
6
1
−2
−7
Bestimmen Sie: A2 , AT , (AT )T , A · AT , AT · A.
5. Seien A, B Matrizen, sodass A · B definiert ist.
(a) Wenn die dritte Spalte von B ein Nullvektor ist, wie kann man dann
die dritte Spalte von A · B darstellen?
(b) Wenn die dritte Spalte von B ein Vektor ist, der gleich der Summe
der ersten beiden Spalten (von B) ist, wie kann man dann die dritte
Spalte von A · B darstellen?
6. Finden Sie zwei Matrizen A und B, sodass
• weder A noch B eine Einheitsmatrix ist,
• weder A noch B eine Nullmatrix ist,
• A 6= B und
• A · B = B · A.
7. Nehmen Sie an, dass die Matrix
A=
a
c
b
d
die Eigenschaften A · B1 = B1 · A und A · B2 = B2 · A besitzt, wobei
1 0
0 1
B1 =
und B2 =
.
0 0
0 0
Beweisen Sie, dass dann A = λE2 für ein λ ∈ R gelten muss. Welchen
Wert muss λ haben?
8. Beweisen Sie, dass Multiplikation mit der Matrix
cos(θ) − sin(θ)
R=
sin(θ) cos(θ)
die Vektoren aus R2 um den Winkel θ rotiert. Wie kann man diese Drehung
rückgänig machen? Hinweis: Die Additionstheoreme für Kosinus und Sinus
könnten hier nützlich sein.
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